Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Thermodynamik
__SHOWFACTBOX__
Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:
N- Teilchenzustand:
![{\displaystyle \left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{i}},...,{{a}_{N}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c911df3122cdb367bf99dd0eb9d9c39e5148fb78)
dabei ist ai der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen
Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:
Führe ein: Permutationsoperator:
![{\displaystyle {{\hat {P}}_{ij}}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{i}},...,{{\bar {x}}_{j}},....\right):=\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{j}},...,{{\bar {x}}_{i}},....\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290df43a5a45370462a43c3a7aa2645335f999e8)
Ununterscheidbarkeit verlangt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {P}}_{ij}}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{i}},...,{{\bar {x}}_{j}},....\right):=\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{j}},...,{{\bar {x}}_{i}},....\right)={{e}^{i\nu }}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{i}},...,{{\bar {x}}_{j}},....\right)\\&{{\hat {P}}_{ij}}^{2}={\bar {\bar {1}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eadd2cb41f52ecce744f6615816b6b272ac13a3)
Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit
vertauschen, insbesondere
![{\displaystyle \left[{\hat {H}},{{\hat {P}}_{ij}}\right]=0\Rightarrow {{\hat {P}}_{ij}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67615163f54d276e86c51c03b107d2f8be8722f5)
ist Erhaltungsgröße !
Es gilt:
![{\displaystyle {{\hat {P}}_{ij}}^{2}={\bar {\bar {1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416ee8b89ee19dca56ece9c702bdf701d20fdceb)
Somit folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{\hat {P}}_{ij}}\Psi ={{\lambda }_{ij}}\Psi \\&{{\lambda }_{ij}}^{2}=1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7b30544a6915715c5dd05f1e81032f5a78e60d)
Wichtig:
![{\displaystyle {{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{2}},{{\bar {x}}_{1}}\right)\right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f95772380418f974434d0dc23fc9760748c8a43)
Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar !
Also:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left|{{\hat {P}}_{ij}}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{2}},{{\bar {x}}_{1}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}}\right)\right|}^{2}}\Rightarrow {{\left|{{\lambda }_{ij}}\right|}^{2}}=1\\&\Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26f5b287bb01756dcd04c6d38a001e332993366)
Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte !
Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:
Sei
![{\displaystyle \left|a,b\right\rangle ={{\left|a\right\rangle }_{1}}{{\left|b\right\rangle }_{2}}\in H\times H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295e7df58555f3fc7cae1da60e3fa66d37f883e1)
Dann ist
![{\displaystyle {{\left|a,b\right\rangle }_{s}}={\frac {1}{2}}\left(1+{{\hat {P}}_{12}}\right)\left|a,b\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a1d47b7c2450e5285e3608008bc6e667e72923)
ein Eigenzustand von
![{\displaystyle {{\hat {P}}_{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1984e640662f89a5d36bde610032312e064e670f)
zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand !
denn:
![{\displaystyle {{\hat {P}}_{12}}{{\left|a,b\right\rangle }_{s}}={{\hat {P}}_{12}}{\frac {1}{2}}\left(1+{{\hat {P}}_{12}}\right)\left|a,b\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{12}}+{{\hat {P}}_{12}}^{2}\right)\left|a,b\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{12}}+1\right)\left|a,b\right\rangle ={{\left|a,b\right\rangle }_{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cae902563002ba990ef55443536bac36d66e41b)
und
![{\displaystyle {{\left|a,b\right\rangle }_{a}}={\frac {1}{2}}\left(1-{{\hat {P}}_{12}}\right)\left|a,b\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e471f747cb5ef08c1c6ad61bb076ce155150c6d)
ist der antisymmetrische Zustand von
zum Eigenwert -1, denn:
![{\displaystyle {{\hat {P}}_{12}}{{\left|a,b\right\rangle }_{a}}={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{12}}-1\right)\left|a,b\right\rangle =-{{\left|a,b\right\rangle }_{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd4a132f07cc9b59537d5f1e31e8ea393337deb)
N- Teilchensystem
Alle
kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander !. Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch
![{\displaystyle {{\lambda }_{ij}}=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606864a6a9f6399bb1731b0cccb6bad8fdaffe2c)
oder antisymmetrisch
sind !
Bosonen ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,...., wie Photonen, Phononen oder
- Bose- Einstein- Statistik
Fermionen = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand sind alle Teilchen mit halbzahligem Spin: s= 1/2, 3/2, etc..., wie
Elektronen, Proton, Neutron,
Erfahrungstatsache ! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !
Bosonen- Hilbertraum:
![{\displaystyle {{H}_{N}}^{+}={\hat {S}}{{H}_{N}}={\frac {1}{N!}}\sum \limits _{\rho =1}^{N!}{}{{\hat {P}}_{\left(\rho \right)}}{{H}_{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4314d62cd222cdd095f5f008bb8baeec1c3daacb)
Dabei charakterisiert der Index
die
- te Permutation von (123...N)
![{\displaystyle {\hat {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84040a3e50cb11792bdb6cfaac286b46476e3447)
ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator
![{\displaystyle {{\hat {S}}^{2}}={\hat {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb5685fb504fb223f3464f2a64de8044dca8c97)
->
ist ein Projektor
- er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !
Fermionen- Hilbertraum:
![{\displaystyle {{H}_{N}}^{-}={\hat {A}}{{H}_{N}}={\frac {1}{N!}}\sum \limits _{\rho =1}^{N!}{}{{\left(-1\right)}^{\rho }}{{\hat {P}}_{\left(\rho \right)}}{{H}_{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f900ffd1f8b15ad9ecf54617c4444de08826b526)
Dabei charakterisiert der Index
die
- te Permutation von (123...N)
![{\displaystyle {\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821)
ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator
![{\displaystyle {{\hat {A}}^{2}}={\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceba67053f584786b461aa322ae6b450f3cf5263)
->
ist ein Projektor
- er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !
Pauli- Prinzip
Wellenfunktionen total antisymmetrisch -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !
Hilbertraum variabler Teilchenzahl ( großkanonisches Ensemble)
![{\displaystyle H=\sum \limits _{N=0}^{\infty }{}{{H}_{N}}^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5068bdbb2f778b14aed48ca9fb69508d3929539d)
- Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !
![{\displaystyle H=\sum \limits _{N=0}^{\infty }{}{{H}_{N}}^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5068bdbb2f778b14aed48ca9fb69508d3929539d)
ist der sogenannte Fock- Raum !
Ideales Gas
( WW- freie, identische Teilchen):
Übergang zur Besetzungszahldarstellung:
![{\displaystyle \left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle \to \left|{{N}_{1}},...,{{N}_{j}},...,{{N}_{l}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dd1b8a1cfc6c0d31d3d0d29698af2c330d2a23)
links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand ai
rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes
durch
charakterisiert ( inkl. Spin!)
Bosonen:
![{\displaystyle {{N}_{j}}=0,1,2,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d717b838b0be4b18819f389e9a5c79912fc16398)
Fermionen
![{\displaystyle {{N}_{j}}=0,1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08436eb3ac47d6b8671407d11539bea4c060fac9)
dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators