Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

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Der Artikel Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. A. Knorr|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__

Motivation: ${\rho }_{nm}$ ($t_0$ < Eintreffen des Feldes $h_{\alpha }(t)$) bestimmen, hier formulieren wir das so allgemein, dass später Theorie auch für eine Abfolge von $t_0$'s, also ${\rho }_{nm}(t$) bei eingeschaltetem Feld gilt.

Unschärfemaß des statistischen Operators

Problem $\left\{G_{\nu }\right\}$ sei Satz von Observablen (z.B N,E eines Gases)

• andere Infos sollen nicht gemessen werden wenn wir $\rho (t_0)$ festlegen, so muss das so geschehn, dass nicht mehr Info als $\left\{G_{\nu }\right\}$ festgelegt wird.
• nur sicherzustellen, dass wir nicht mehr Info fordern als zustetht bilden wir Unschärfemaß $\eta (\rho )$ und $\eta$ soll angeben wie weit wir von reinem Zustand entfernt sind
• später wird y maximiert (Nichtwissen maximieren) unter der Nebenbedigung

($\left\{⟨G_{\nu }⟩\right\}$ bekannt, bzw im Experiment festgelegt) um $\rho$ zu finden

• → Vorurteilsfreie Wahl zeichnet keine andere Observable aus!

Definition des Unschäfremaßes

$\eta \left(\rho \right)=-k\mathrm{Tr}(\rho \ln \rho )$

(Funktional von $\rho$ (analog: informationstheoretisches Maß von C. Channon 1946)

Ist das sinnvoll?

1. $\eta \left(\rho \right)$ sollte positiv sein, um Maß für Unschärfe zu ergeben
2. $\eta \left(\rho \right)$ solte 0 sein für einen reinen Zustand
3. $\eta \left(\rho \right)$ sollte $\mathrm{\infty }$ sein für einen komplett unbestimmten Zustand

ist zu zeigen:'

1) $\eta \left(\hat{\rho }\right)\ge 0$

$\hat{\rho }|r_m⟩=r_m|r_m⟩$ als Eigenwertgleichung für $\rho$ $\begin{array}{rl}& \eta \left(\rho \right)=-k\mathrm{Tr}(\rho \ln \rho )=-k\sum _m^{}⟨r_m|\rho \ln \rho |r_m⟩=-k\sum _m^{}{r}_m\ln r_m\\ & 1\ge r_m\ge 0\\ & \Rightarrow \ln r_m\le 0\\ & \Rightarrow \eta \left(\rho \right)\ge 0\\ \end{array}$

2) reiner Zustand → $\eta \left(\rho \right)=0$

mit

${\rho }_0=|{\mathrm{\Psi }}_{i0}⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_{i0}|$

$|{\mathrm{\Psi }}_{i0}⟩$ ist der reine Zustand

Eigenwertproblem

$|{\mathrm{\Psi }}_{i0}⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_{i0}|r⟩=r|r⟩$

erfüllt für

$|{\mathrm{\Psi }}_{i0}⟩=|r⟩,r=1$

$\eta \left({\rho }_0\right)=-k\sum _m^{}{r}_m\ln r_m=-k1\ln 1=0$

3) völlige Unbestimmtheit

betrachte Hibertraum der Diemension d (am Ende soll $d\to \mathrm{\infty }$ wie z.B in richtigem Kasten)

$w_i=\frac{1}{d}$

die Wahrscheinlichkeit der Realisierungen muss gleich sein (analogie Würfel)

$\rho =\sum _i{w}_i|{\mathrm{\Psi }}_i⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_i|=\frac{1}{d}1$

$\begin{array}{rl}& \eta \left({\rho }_d\right)=-k\sum _{i=1}^d⟨i|\frac{1}{d}\ln \frac{1}{d}|i⟩\\ & =k\sum _{i=1}^d\frac{1}{d}\ln \frac{1}{d}=k\ln \frac{1}{d}\end{array}$

für $d\to \mathrm{\infty }$ folgt $\eta (\rho )=\mathrm{\infty }$

alle Grenywerte sind sinnvoll, damit

$\eta \left(\rho \right)$

ein sinnvolles Unschärfemaß

$\mathrm{\forall }\rho$

ist.

Jetzt können wir

$\eta \left(\rho \right)$ nehmen um

$\rho$

zu bestimmen.

Der generalisierte statistische Operator

Wollen nun aus

$\eta \left(\rho \right)\to \rho$

sinnvoll finden natürlich ‘‘‘nicht‘‘‘ eindeutig, aber Wissen

$\left\{G_{\nu }\right\}$

(Satz von Observablen / Beobachtungsebene) hilft:

→ wir maximieren $\eta \left(\rho \right)$also unser Nichtwissen unter den Bediungen des „Wissens“ von $G_{\nu }$“vorurteilsfrei“.

Nebenbedingung:

$⟨G_{\nu }⟩=\mathrm{Tr}\left(\rho G_{\nu }\right)$

z.B E, N

$\mathrm{Tr}\left(\rho \right)=1$

Ergebnis bevor es bewiesen wird:

Der statistische Operator R der alle Forderungen: $\eta \left(\rho \right)=\text{maximal}\text{,}\text{Tr}\left(G_{\nu }\rho \right)=\text{Tr}\left(G_{\nu }R\right),\mathrm{Tr}\left(R\right)=1$ erfüllt heißt generalisierter kanonischer statistischer Operator{{#set:Fachbegriff=generalisierter kanonischer statistischer Operator|Index=generalisierter kanonischer statistischer Operator}} (GKSO) $R_{\left(G_{\nu }\right)}=\frac{1}{Z_{\left(G_{\nu }\right)}}{e}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}$

{{#set:Definition=generalisierter kanonischer statistischer Operator|Index=generalisierter kanonischer statistischer Operator}}

$Z_{\left(G_{\nu }\right)}\equiv Z=\mathrm{Tr}\left(e^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}\right)$ Normierungsfaktor und wird Zustandssumme genannt

{{#set:Definition=Zustandssumme|Index=Zustandssumme}}

es tauchen Lagrangefaktoren ${\lambda }_{\nu }$ auf die die Umgebung (z.B. Temperatur) charakterisiern ${\lambda }_{\nu }$ noch unbestimmt: Beispiel

$G_1=H,R{e}^{\frac{H}{kT}},{\lambda }_1=\frac{1}{kT}$

Bedeutung der Zustandssumme

$⟨G_{\nu }⟩=-\frac{1}{z}\frac{\partial Z}{\partial {\lambda }_{\nu }}$

bestimmen die Messgrößen ($G_{\nu }$) aus

$⟨G_{\nu }⟩=\mathrm{Tr}\left(G_{\nu }\frac{e^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}}{Z}\right)$

$\rho =R$ liegt damit für festen Zeitpunkt vor und damit können bei Einschalten von $h_{\alpha }(t)$ die Dichtematrixgleichungen gelöst werden.

Beweis für GKSO

(in 3 Schritten) a) Unschärfemaß für R ableiten:

$R=\frac{1}{Z}{e}^{-\sum _{\nu }^{}{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }},\ln R=-\sum _{\nu }^{}{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }-\ln Z$

$\begin{array}{rl}& \eta \left(R\right)=-k\mathrm{Tr}(R\ln R)=-k\mathrm{Tr}(-R\sum _{\nu }^{}{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }-R\ln Z)\\ & =-k\sum _{\nu }^{}{\lambda }_{\nu }⟨G_{\nu }⟩+k\ln Z\\ \end{array}$

Idee des Beweises: wir nehmen einen beliebigen statistischen Operator $\rho$ und zeigen $\eta (R)\ge \eta (\rho )$

b)

$\mathrm{Tr}(\rho \ln R)\underset{\text{ansehen}}{\underbrace{=}}-\sum _{\nu }^{}{\lambda }_{\nu }\underset{\mathrm{Tr}\left(R{G}_{\nu }\right)}{\underbrace{\mathrm{Tr}\left(\rho G_{\nu }\right)}}-\ln Z\equiv \mathrm{Tr}\left(R\rho R\right)$

c)

$tr(\rho \ln \rho )-tr(R\ln R)\ge 0$

$tr(\rho \ln \rho )-tr(R\ln R)$ spiegels später wieder was größer ist

nach b)

$=tr(\rho \ln \rho )-tr(\rho \ln R)$

mit

$\begin{array}{rl}& \rho |r_m⟩=r_m|r_m⟩\\ & R|w_n⟩=w_n|w_n⟩\\ \end{array}$

folgt

$=\sum _m^{}\underset{1}{\underbrace{⟨r_m|r_m⟩}}{r}_m\ln r_m-\sum _m^{}{r}_m⟨r_m|\ln R|r_m⟩$

$\sum _n^{}|w_n⟩⟨w_n|=1$

$\begin{array}{rl}& =\sum _{m,n}^{}[⟨r_m|w_n⟩⟨w_n|r_m⟩r_m\ln r_m-r_m⟨r_m|\ln R|w_n⟩⟨w_n|r_m⟩]\\ & =\sum _{m,n}^{}\left[{\left|⟨r_m|w_n⟩\right|}^2{r}_m(\ln r_m-\ln R_n)\right]\\ & =\sum _{m,n}^{}\left[{\left|⟨r_m|w_n⟩\right|}^2{r}_m(-\ln \frac{R_n}{r_m})\right]\\ \end{array}$

mit $\ln \left(x\right)\le x-1$ folgt

$\begin{array}{rl}& \sum _{m,n}^{}\left[{\left|⟨r_m|w_n⟩\right|}^2{r}_m(-\ln \frac{R_n}{r_m})\right]\ge \sum _{m,n}^{}\left[{\left|⟨r_m|w_n⟩\right|}^2{r}_m(1-\frac{R_n}{r_m})\right]\\ & =\sum _{m,n}^{}\left[{\left|⟨r_m|w_n⟩\right|}^2(r_m-R_n)\right]=\sum _m^{}{r}_m=\sum _n^{}{R}_n\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \to \mathrm{Tr}(\rho \ln \rho )\ge \mathrm{Tr}(R\ln R)|-k\\ & \eta \left(\rho \right)\le \eta \left(R\right)\\ \end{array}$

R hat offensichtlich das maximale unschärfemaß f die vorgegebenen Nebenbedingungen

Entropie als maximales Unschärfemaß einer Beobachtung

maximales Unschärfemaß für eine Beobachtungsebene

$\left\{G_{\nu }\right\}$

ist

$\eta \left(R\right)=-k\mathrm{Tr}(R\ln R)$

$R_{\left\{G_{\nu }\right\}}\equiv R=\frac{1}{Z}{e}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}$

Die Entropie S zu einer Beobachtungsebene $\left\{G_{\nu }\right\}$ wird mit

$S=\eta \left(R\right)$ definiert.

Entropie als Maß für Unordnung / Nichtwissen (Gleiverteilung hatte größtes

$\eta \left(R\right)$)

.

Ziel der Entropiedefinition{{#set:Fachbegriff=Entropiedefinition|Index=Entropiedefinition}} ist die Verbindung zwischen mikroskopischer Welt

$(Z=\sum _{Zust\ddot{a}nde}\dots )$ und makroskopischer Welt (Druck, Temperatur etc);

also Zustandsgleichungen aus Z berechnen.

$\begin{array}{rl}& S=-k\mathrm{Tr}(\frac{1}{Z}{e}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}\ln \left(\frac{1}{Z}{e}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}\right))\\ & =-k\mathrm{Tr}\left(\frac{1}{Z}{e}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}(-\ln Z-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu })\right)\\ & =\underset{f({\lambda }_{\nu },⟨G_{\nu }⟩)}{\underbrace{k\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }⟨G_{\nu }⟩}}+\underset{g({\lambda }_{\nu },G_{\nu }\left(h_{\alpha }\right))}{\underbrace{k\ln Z}}\\ & S=S(⟨G_{\nu }⟩,h_{\alpha })\end{array}$

z.B.

$S=S(⟨H⟩,⟨N⟩,V)$

Gibbs-Fundamentalrelation

dient zur Bestimmung von Zustandsgleichungen und lautet:

$dS=k\sum _{\nu }^{}{\lambda }_{\nu }(d⟨G_{\nu }⟩-\sum _{\alpha }⟨{\partial }_{h_{\alpha }}{G}_{\nu }⟩d{h}_{\alpha })$

Entropieänderung ist verbunden mit der Änderung von

$⟨G_{\nu }⟩,h_{\alpha }$Beweis gleich

Bmerkung zur Gibbsgleichung

• $S=S(⟨G_{\nu }⟩,h_{\alpha })$ legt die Variblen fest
• legt verallgemeinter Kräfte fest: $M_{\nu ,\alpha }=-⟨{\partial }_{h_{\alpha }}{G}_{\nu }⟩$
  • (z.B. $p=-⟨{\partial }_{\nu }H⟩$)
  • physikalische Interpretation $G_{\nu }=H,h_{\alpha }=\nu$ bei E-Messung
• Kraft.Länge/(Fäche.Länge)
• Vorzeichen um $\mathrm{\Delta }V<0,p>0$ zu haben
• E im Kasten ~ $L^{-}2$ BILD $\mathrm{\Delta }E>0\to L$ kleiner
• Bestimmung der Langrangemultiplikatorenb (physikalischer Inhalt) um von Zustandsgleichungen über Gibbsgleichung

Vergleich von

$\begin{array}{rl}& dS=k\sum _{\nu }^{}{\lambda }_{\nu }(d⟨G_{\nu }⟩-\sum _{\alpha }{M}_{\nu ,\alpha }d{h}_{\alpha })\\ & dS=\sum _{\nu }^{}\frac{{\partial }_S}{\partial ⟨G_{\nu }⟩}(d⟨{\overline{G}}_{\nu }⟩-\sum _{\alpha }\frac{\partial S}{\partial h_{\alpha }}d{h}_{\alpha })\end{array}$

ergibt

Lagrangefaktoren{{#set

Fachbegriff=Lagrangefaktoren|Index=Lagrangefaktoren}} : $k{\lambda }_{\nu }=\frac{\partial S}{\partial ⟨G_{\nu }⟩}$

Zustandsgleichung{{#set

Fachbegriff=Zustandsgleichung|Index=Zustandsgleichung}} : $\sum _{\nu }^{}k{\lambda }_{\nu }{M}_{\nu ,\alpha }=\frac{\partial S}{\partial h_{\alpha }}$

 Gibbsgleichung legt die Zustandsgleichungen fest und ist damit genauso fundamental wie die Maxwellgleichung der Elektrodynamik
z.B: $p=p(N,V,E)$

Beweis der Gibbsgleichung

$\begin{array}{rl}& S=k\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }⟨G_{\nu }⟩+k\ln Z\\ & dS=k\sum _{\nu }(d{\lambda }_{\nu }⟨G_{\nu }⟩+{\lambda }_{\nu }d⟨G_{\nu }⟩)+k\frac{dZ}{Z}\\ & =k\sum _{\nu }(d{\lambda }_{\nu }(-\frac{\partial Z}{\partial {\lambda }_{\nu }}\frac{1}{z})+{\lambda }_{\nu }d⟨G_{\nu }⟩)+k\frac{dZ}{Z}\end{array}$

mit Z arbeiten:

$Z=\mathrm{Tr}\left({\mathrm{e}}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}\right)=Z({\lambda }_{\nu },h_{\alpha })$

$G_{\nu }=G_0\left(h_{\alpha }\right)$

Das vollständige Differential von Z ist:

$dZ=\sum _{\nu }\frac{\partial Z}{\partial {\lambda }_{\nu }}d{\lambda }_{\nu }+\sum _{\alpha }\frac{\partial Z}{\partial h_{\alpha }}d{h}_{\alpha }$

eingesetzt in dS:

$\begin{array}{rl}& S=k\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }⟨G_{\nu }⟩+k\ln Z\\ & dS=k\sum _{\nu }(d{\lambda }_{\nu }⟨G_{\nu }⟩+{\lambda }_{\nu }d⟨G_{\nu }⟩)+k\frac{dZ}{Z}\\ & =k\underset{\begin{array}{c}\text{Teil der}\\ \text{Gibbsgleichung}\end{array}}{\underbrace{\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }d⟨G_{\nu }⟩}}+k\sum _{\alpha }\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial h_{\alpha }}d{h}_{\alpha }\\ & k\sum _{\alpha }\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial h_{\alpha }}d{h}_{\alpha }=k\sum _{\alpha }\frac{1}{Z}\mathrm{Tr}\left(\frac{\partial }{\partial h_{\alpha }}{\mathrm{e}}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}\right)d{h}_{\alpha }\end{array}$

Der Zweite Teil wird zu

$\begin{array}{rl}& k\sum _{\alpha }\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial h_{\alpha }}d{h}_{\alpha }=k\sum _{\alpha }\frac{1}{Z}\mathrm{Tr}\left(\frac{\partial }{\partial h_{\alpha }}{\mathrm{e}}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}\right)d{h}_{\alpha }\\ & =k\sum _{\alpha }\mathrm{Tr}(-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }\frac{\partial G_{\nu }}{\partial h_{\alpha }}R)d{h}_{\alpha }\\ & =-k\sum _{\alpha ,\nu }{\lambda }_{\nu }⟨\frac{\partial G_{\nu }}{\partial h_{\alpha }}⟩d{h}_{\alpha }\end{array}$

→ergibt die Gibbsrelation

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