Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

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Der Artikel Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Motivation: ${\rho }_{nm}$ ($t_0$ < Eintreffen des Feldes $h_{\alpha }(t)$) bestimmen, hier formulieren wir das so allgemein, dass später Theorie auch für eine Abfolge von $t_0$'s, also ${\rho }_{nm}(t$) bei eingeschaltetem Feld gilt.

Unschärfemaß des statistischen Operators

Problem $\left\{G_{\nu }\right\}$ sei Satz von Observablen (z.B N,E eines Gases)

• andere Infos sollen nicht gemessen werden wenn wir $\rho (t_0)$ festlegen, so muss das so geschehn, dass nicht mehr Info als $\left\{G_{\nu }\right\}$ festgelegt wird.
• nur sicherzustellen, dass wir nicht mehr Info fordern als zustetht bilden wir Unschärfemaß $\eta (\rho )$ und $\eta$ soll angeben wie weit wir von reinem Zustand entfernt sind
• später wird y maximiert (Nichtwissen maximieren) unter der Nebenbedigung

($\left\{⟨G_{\nu }⟩\right\}$ bekannt, bzw im Experiment festgelegt) um $\rho$ zu finden

• --> Vorurteilsfreie Wahl zeichnet keine andere Observable aus!

Definition des Unschäfremaßes

$\eta \left(\rho \right)=-k\mathrm{Tr}(\rho \ln \rho )$ (Funktional von $\rho$ (analog: informationstheoretisches Maß von C. Channon 1946)

Ist das sinnvoll?

1. $\eta \left(\rho \right)$ sollte positiv sein, um Maß für Unschärfe zu ergeben
2. $\eta \left(\rho \right)$ solte 0 sein für einen reinen Zustand
3. $\eta \left(\rho \right)$ sollte $\mathrm{\infty }$ sein für einen komplett unbestimmten Zustand

ist zu zeigen:'

1)$\eta \left(\hat{\rho }\right)\ge 0$

$\hat{\rho }|r_m⟩=r_m|r_m⟩$ als Eigenwertgleichung für $\rho$

$\begin{array}{rl}& \eta \left(\rho \right)=-k\mathrm{Tr}(\rho \ln \rho )=-k\sum _m^{}⟨r_m|\rho \ln \rho |r_m⟩=-k\sum _m^{}{r}_m\ln r_m\\ & 1\ge r_m\ge 0\\ & \Rightarrow \ln r_m\le 0\\ & \Rightarrow \eta \left(\rho \right)\ge 0\\ \end{array}$

2)

3)