Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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( Erregungsgleichungen)

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=\rho \\ & \iff {\partial }_1{E}^1+{\partial }_2{E}^2+{\partial }_3{E}^3=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}c\rho \\ & \iff {\partial }_1{F}^{10}+{\partial }_2{F}^{20}+{\partial }_3{F}^{30}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^0\\ & \iff {\partial }_{\nu }{F}^{\nu 0}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^0\\ & wegen{\partial }_0{F}^{00}=0\\ & auch{\partial }_i{F}^{i0}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^0\\ \end{array}$

2. $\mathrm{\nabla }\times \overline{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}={\mu }_0(\mathrm{\nabla }\times \overline{H}-{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E})={\mu }_0\overline{j}$

1. Komponente

$\begin{array}{rl}& {\partial }_2{B}^3-{\partial }_3{B}^2={\mu }_0{j}^1+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}{E}^1\\ & {\mu }_{0}c=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}\\ & \iff {\partial }_2{F}^{21}-.{\partial }_3{F}^{13}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^1+.{\partial }_0{F}^{10}\\ & {\partial }_2{F}^{21}+{\partial }_3{F}^{31}+{\partial }_0{F}^{01}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^1\\ & \iff {\partial }_{\nu }{F}^{\nu 1}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^1\\ & wegen{\partial }_1{F}^{11}=0\\ \end{array}$

Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

$\begin{array}{rl}& {\partial }_{\nu }{F}^{\mu \nu }=-\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\mu }\\ & {\partial }_{\nu }{F}^{\nu \mu }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\mu }\\ \end{array}$

Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !

Bemerkungen

1. die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

$\left\{F_{\mu \nu }\right\}=\{{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }\}=\left(\begin{array}{cccc}0& \frac{1}{c}{E}_x& \frac{1}{c}{E}_y& \frac{1}{c}{E}_z\\ -\frac{1}{c}{E}_x& 0& -B_z& B_y\\ -\frac{1}{c}{E}_y& B_z& 0& -B_x\\ -\frac{1}{c}{E}_z& -B_y& B_x& 0\\ \end{array}\right)$

automatisch erfüllt:

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{F}_{\mu \nu }={\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }-{\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }\\ & {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }=0,\\ & da:{\partial }_{\beta }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }symmetrisch\\ & {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }antisymmetrisch\\ & {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }=0\\ \end{array}$

Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

${\partial }_{\beta }{F}^{\beta \nu }={\partial }_{\beta }{\partial }^{\beta }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }-{\partial }_{\beta }{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\beta }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\nu }$

folgt mit Lorentz- Eichung

${\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }=0$

$\begin{array}{rl}& {\partial }_{\beta }{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\beta }={\partial }^{\nu }{\partial }_{\beta }{\mathrm{\Phi }}^{\beta }=0\\ & also:\\ \end{array}$

${\partial }_{\beta }{F}^{\beta \nu }={\partial }_{\beta }{\partial }^{\beta }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\nu }$ als inhomogene Wellengleichung

Die Maxwellgleichungen

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{F}_{\mu \nu }={\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }-{\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }=0\\ & {\partial }_{\beta }{F}^{\beta \nu }={\partial }_{\beta }{\partial }^{\beta }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\nu }\\ \end{array}$

sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind. Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!

Gauß- System:

${\partial }_{\beta }{F}^{\beta \nu }=\frac{4\pi }{c}{j}^{\nu }$