Eichinvarianz und Ladungserhaltung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Eichinvarianz und Ladungserhaltung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Wirkungsintegral:

$W=-m_{0}c\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds-\frac{q}{c}\underset{1}{\overset{2}{\int }}d{x}_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }$

Dabei:

$m_{0}c\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds=W_t$

( Teilchen)

$-\frac{q}{c}\underset{1}{\overset{2}{\int }}d{x}_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }=W_{tf}$

( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)

Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte

$m\left(x^{\mu }\right)$

Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!

$\begin{array}{ll}& W_t=-c\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}rm\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}d\mathrm{\Omega }m\frac{ds}{dt}\\ & d\mathrm{\Omega }:=d^{3}rcdt=d{x}^{0}d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3\\ \end{array}$

dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!

Bemerkungen:

2. $d\mathrm{\Omega }$
3. ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen

${U^{\mu }}_{\nu }$

erhalten bleibt.

2) Aus

$d{m}_{0}d{x}^{\mu }=\frac{\mu }{c}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}{d}^{3}rcdt;d^{3}rcdt=d\mathrm{\Omega }\Rightarrow d{m}_{0}d{x}^{\mu }=\frac{\mu }{c}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}d\mathrm{\Omega }$

folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=

$d{m}_{0}d{x}^{\mu }=\frac{\mu }{c}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}{d}^{3}rcdt;d^{3}rcdt=d\mathrm{\Omega }\Rightarrow d{m}_{0}d{x}^{\mu }=\frac{\mu }{c}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}d\mathrm{\Omega }$

$m_0\frac{d{x}^{\mu }}{dt}\equiv g^{\mu }$

ein Vier- Vektor ist, da

$d{m}_0,d\mathrm{\Omega }$

Lorentz- Skalare sind und natürlich

$d{x}^{\mu }$

selbst auch ein Vierervektor

2. ${\mu }^2\frac{d{x}^{\mu }d{x}_{\mu }}{{\left(dt\right)}^2}=g^{\mu }{g}_{\mu }={\left(\mu \frac{ds}{dt}\right)}^2$
3. ist Lorentz - Invariant.

Also

$g^{\mu }{g}_{\mu }$

ist Lorentz- Invariant. Also auch

$\left(\mu \frac{ds}{dt}\right)$

.

Somit ist

$W_t$

insgesamt Lorentz- Invariant !