Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 5) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel: Berechnung der Materialkonstanten

5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten ${\chi }_e$ aus einfachen mikroskopischen Modellen Methode: Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte $\overline{P}$ für ein gegebenes Feld $\overline{E}$ .

Nebenbemerkung: Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation

Klassisches Atommodell:

homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung $Q_e=-Ze<0$

Außerdem ein punktförmiger Kern mit $Q_k=+Ze>0$ am Ort ${\overline{r}}_k$

Merke:

Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler Darstellungen der Maxwellgleichungen

Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes ${\overline{E}}_{el.}\left(\overline{r}\right)$ der Elektronen nach außen:

Gauß- Gesetz

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=Q=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{D}(\overline{r},t)$

Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen

Wichtig ! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber ! Betrachtung des elektrischen Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig , aber hier homogen verteilt !-> einfache Integration.

Auswertung liefert

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }_0\underset{\partial V(r\stackrel{´}{})}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{E}(\overline{r},t)=\underset{V(r\stackrel{´}{})}{\overset{}{\int }}\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{r{\stackrel{´}{}}^3}{R^3}Q\\ & \Rightarrow 4r{\stackrel{´}{}}^2\pi {\epsilon }_0\left|\overline{E}(\overline{r},t)\right|=\frac{r{\stackrel{´}{}}^3}{R^3}Q\\ & \Rightarrow \left|\overline{E}(\overline{r},t)\right|=\frac{r\stackrel{´}{}}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}Q\\ \end{array}$

Natürlich nur für

$r\stackrel{´}{}\le R$

setzt man $\overline{r}\stackrel{´}{}=\overline{r}-{\overline{r}}_e$ , wobei ${\overline{r}}_e$ das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,

so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis

$\overline{E}(\overline{r},t)=\frac{\overline{r}-{\overline{r}}_e}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}{Q}_e$

und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:

${\overline{F}}_K=Q_K\overline{E}({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=\frac{{\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}{Q}_e{Q}_k=-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)$

wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:

${\overline{F}}_e=-{\overline{F}}_K$

Aufstellen der Bewegungsgleichungen ( inklusive einem äußeren Feld ${\overline{E}}_a$ ):

$\begin{array}{rl}& m_K{\ddot{\overline{r}}}_k={\overline{F}}_K+Q_K{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+Q_K{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+Ze{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)\\ & Z{m}_e{\ddot{\overline{r}}}_e=-{\overline{F}}_K+Q_e{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+Q_e{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)-Ze{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)\\ \end{array}$

Also folgt für die Relativbewegung:

$\overline{r}={\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e$

als relativer Abstand

$\begin{array}{rl}& \ddot{\overline{r}}={\ddot{\overline{r}}}_k-{\ddot{\overline{r}}}_e=-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3{m}_K}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+\frac{Ze}{m_K}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)-\frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3{m}_e}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+\frac{e}{m_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)\\ & =-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}(\frac{1}{m_K}+\frac{1}{Z{m}_e})({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+Ze(\frac{1}{m_K}+\frac{1}{Z{m}_e}){\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)\\ & (\frac{1}{m_K}+\frac{1}{Z{m}_e})\approx \frac{1}{Z{m}_e}\\ & ({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)=\overline{r}\\ & \Rightarrow \ddot{\overline{r}}=-\frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{R}^3}\overline{r}+\frac{e}{m_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)\\ & \frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{R}^3}:={{\omega }_0}^2\\ & \Rightarrow \ddot{\overline{r}}+{{\omega }_0}^2\overline{r}=\frac{e}{m_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)\\ \end{array}$

Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial ! was wir schon an der Bestimmung des Potenzials sofort hätten sehen können !

Jedenfalls im stationären Zustand gilt:

$\overline{r}=\frac{e}{{{\omega }_0}^2{m}_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)$

( Dynamik mit Dämpfung)

$\Rightarrow {\chi }_e\left(\omega \right)$

Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des elektrischen Dipolmoments:

$\begin{array}{rl}& \overline{p}=Ze\overline{r}=\frac{Z{e}^2}{{{\omega }_0}^2{m}_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)={\epsilon }_0\alpha {\overline{E}}_a\\ & \alpha :=\frac{Z{e}^2}{{{\omega }_0}^2{\epsilon }_0{m}_e}\\ & \frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{R}^3}:={{\omega }_0}^2\\ & \Rightarrow \alpha :=\frac{Z{e}^2}{{{\omega }_0}^2{\epsilon }_0{m}_e}=4\pi R^3=3V_{Atom}\\ \end{array}$

Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter. Entsprechend:

$\begin{array}{rl}& \overline{p}=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\rho }_e(r\stackrel{´}{})\overline{r}\stackrel{´}{}+Ze\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & Ze\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=Ze\overline{r}\\ & \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\rho }_e(r\stackrel{´}{})\overline{r}\stackrel{´}{}=-\frac{Ze}{\frac{4\pi }{3}{R}^3}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}=0\\ \end{array}$

wegen Symmetrie

$\overline{p}=Ze\overline{r}$

makroskopisch gemittelte Energiedichte:

$\overline{P}=n\overline{p}={\epsilon }_{0}n\alpha {\overline{E}}_a$

mit der mittleren Atomdichte n

Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:

Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:

Gedankenexperiment

Feld einer homogenen polarisierten Kugel:

Ansatz: homogen geladene Kugel:

${\overline{E}}_0\left(\overline{r}\right)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{\overline{r}}{a^3}r\le a\\ \frac{\overline{r}}{r^3}r\ge a\\ \end{array}$

Also:

${\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}c-\frac{{\overline{r}}^2}{2a^3}r\le a\\ \frac{1}{r}r\ge a\\ \end{array}$

Bestimmung der Integrationskonstanten:

$\begin{array}{c}\lim \\ \epsilon ->0\\ \end{array}{\mathrm{\Phi }}_0(a-\epsilon )={\mathrm{\Phi }}_0(a+\epsilon )\Rightarrow c=\frac{3}{2a}$

die homogen polarisierte Kugel

Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro annehmen.

Dann: ro -> 0

Bilde:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)={\mathrm{\Phi }}_0(\overline{r}-\frac{1}{2}{\overline{r}}_0)-{\mathrm{\Phi }}_0(\overline{r}+\frac{1}{2}{\overline{r}}_0)\\ & \approx -{\overline{r}}_0\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)\\ & \mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)=-{\overline{E}}_0\\ & \Rightarrow {\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)\approx {\overline{r}}_0{\overline{E}}_0=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{{\overline{r}}_0\overline{r}}{a^3}r\le a\\ \frac{{\overline{r}}_0\overline{r}}{r^3}r\ge a\\ \end{array}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{\overline{p}\overline{r}}{a^3}r\le a\\ \frac{\overline{p}\overline{r}}{r^3}r\ge a\\ \end{array}\\ & \overline{p}:=Q{\overline{r}}_0\\ \end{array}$

Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.

Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung verschwindet. Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation ( eigentlich Dipoldichte) umschreiben:

$\begin{array}{rl}& \overline{P}=\frac{\overline{p}}{\frac{4}{3}{a}^3\pi }\\ & \Rightarrow {\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)\approx {\overline{r}}_0{\overline{E}}_0=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{{\overline{r}}_0\overline{r}}{a^3}r\le a\\ \frac{{\overline{r}}_0\overline{r}}{r^3}r\ge a\\ \end{array}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{\overline{P}\overline{r}}{3}r\le a\\ \overline{P}\overline{r}\frac{a^3}{r^3}r\ge a\\ \end{array}\\ \end{array}$

Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.

${\overline{E}}_{Kugel}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\frac{\overline{P}}{3}r\le a$

für das elektrische Feld im Inneren der Kugel ( homogen polarisiert).

Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:

das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden. Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel. Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld

Das Lokalfeld im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen herausgeschnitten wurde:

${\overline{E}}_a\left(\overline{r}\right)=\overline{E}-{\overline{E}}_{KUgel}$

$\begin{array}{rl}& {\overline{E}}_a\left(\overline{r}\right):Lokalfeld\\ & \overline{E}:makroskopisch\\ & {\overline{E}}_a\left(\overline{r}\right)=\overline{E}+\frac{1}{3{\epsilon }_0}\overline{P}\\ \end{array}$

Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"

weil

${\overline{E}}_a+{\overline{E}}_{Kugel}=\overline{E}$ sein muss

Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel ( wieder in den Hohlraum eingesetzt) ergibt das mittlere makroskopische Feld !

Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:

$\begin{array}{rl}& \overline{P}={\epsilon }_{0}n\alpha {\overline{E}}_a={\epsilon }_{0}n\alpha (\overline{E}+\frac{1}{3{\epsilon }_0}\overline{P})\\ & \overline{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\overline{E}\\ & \Rightarrow {\chi }_e=\frac{n\alpha }{1-\frac{1}{3}n\alpha }\\ & n\alpha =\frac{{\chi }_e}{1+\frac{1}{3}{\chi }_e}=\frac{\epsilon -1}{1+\frac{\epsilon -1}{3}}=3\frac{\epsilon -1}{\epsilon +2}\\ \end{array}$

Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel