Grenzbedingungen für Felder

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

65px|Kein GFDL

Der Artikel Grenzbedingungen für Felder basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=4}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__

_ Frage ist: Wie verhalten sich $\overline{B},\overline{H},\overline{D},\overline{E}$ an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien ( Vakuum/ Materie) trennen ?

Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=Q=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{D}(\overline{r},t)$

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})$

Bildlich:

Normalkomponenten: Betrachte einen Zylinder, der senkrecht auf einer Grenzfläche steht. Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:

also: Für die Normalkomponenten: h -> 0

Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist, springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt: Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte $\sigma$ trägt:

$\begin{array}{rl}& \rho (\overline{r},t)=\sigma (x,y,t)\delta \left(z\right)\\ & {\overline{e}}_z\equiv \overline{n}\\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=Q=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\sigma (x,y,t)\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}({\overline{D}}^{(1)}-{\overline{D}}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{n}({\overline{D}}^{(1)}-{\overline{D}}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\sigma (x,y,t)\\ \end{array}$

$\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{B}=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}({\overline{B}}^{(1)}-{\overline{B}}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{n}({\overline{B}}^{(1)}-{\overline{B}}^{(2)})=0$

Somit müssen die Integranden übereinstimmen:

$\overline{n}({\overline{B}}^{(1)}-{\overline{B}}^{(2)})=0$

$\overline{n}({\overline{D}}^{(1)}-{\overline{D}}^{(2)})=\sigma (x,y,t)$

Tangentialkomponenten

Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:

$1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\frac{4\pi }{c}\overline{j}$

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}$

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})$

Auch hier: h-> 0

$\begin{array}{rl}& \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times \overline{E}=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times H(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times \overline{E}=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times H(\overline{r},t)=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})\\ \end{array}$

In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder ! senkrecht auf Flächenvektor und Feld

Wegen:

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times \overline{E}=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})=-\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times H(\overline{r},t)=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})=\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})\\ \end{array}$

Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte $\begin{array}{rl}& \overline{g}\\ & \Rightarrow \overline{j}(\overline{r},t)=\overline{g}(x,y,t)\delta \left(z\right)\\ \end{array}$

wie es bei metallen der Fall ist !, dann:

$\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\overline{j}=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{g}$

Weiter:

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\\ \end{array}$

können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn $\frac{\partial }{\partial t}\overline{B},\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}$ Unendlichkeitsstellen besitzen.

Annahme:

$\overline{B},\overline{D}$ und $\frac{\partial }{\partial t}\overline{B},\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}$ sind beschränkt:

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=0\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{g}(x,y,t)\\ & \underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})=0\\ & \underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{g}(x,y,t)\\ \end{array}$

Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:

$\begin{array}{rl}& \overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})=0\\ & \overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})=\overline{g}(x,y,t)\\ \end{array}$

Das heißt:

Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte !

Bildlich: Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt -> Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig ! Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig !

Zusammenfassung:

$\delta \overline{E}:=({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})$

Maxwellgleichung Grenzbedingung

$\begin{array}{rl}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\overline{n}\times \delta \overline{E}=0\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\overline{n}\cdot \delta \overline{B}=0\\ \end{array}$

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\rho (\overline{r},t)\overline{n}\cdot \delta \overline{D}(\overline{r},t)=\sigma$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\overline{n}\times \delta H(\overline{r},t)=\overline{g}$

Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte ( Flächendivergenz) Die Tangentialkomponente von H springt ( Flächenrotation) um die Flächenstromdichte Die Normalkomponente von B ist stetig.

Beispiele:

1. Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }^{(1)}<{\epsilon }^{(2)}\\ & \sigma =0\\ \end{array}$

Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin !

$\begin{array}{rl}& {{\overline{E}}_t}^{(1)}={{\overline{E}}_t}^{(2)}\\ & {{\overline{D}}_n}^{(1)}={{\overline{D}}_n}^{(2)}\\ \end{array}$

letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte !

$\begin{array}{rl}& {{\overline{E}}_t}^{(1)}={{\overline{E}}_t}^{(2)}\\ & {{\overline{D}}_n}^{(1)}={{\overline{D}}_n}^{(2)}\Rightarrow {\epsilon }_1{{\overline{E}}_n}^{(1)}={\epsilon }_2{{\overline{E}}_n}^{(2)}\\ & \Rightarrow {{\overline{E}}_n}^{(2)}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}{{\overline{E}}_n}^{(1)}\\ & \tan {\alpha }_1=\frac{{{\overline{E}}_t}^{(1)}}{{{\overline{E}}_n}^{(1)}}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\frac{{{\overline{E}}_t}^{(2)}}{{{\overline{E}}_n}^{(2)}}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\tan {\alpha }_2\\ \end{array}$

Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien

Achtung ! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen

1. Grenzfläche zwischen Vakuum ( Luft) und magnetischem Material

2.1 Sei speziell $\overline{B}\mathrm{\perp }$ Grenzfläche ( z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso !)): In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist $\overline{B}$ grundsätzlich stetig ! B ist eh immer grundsätzlich stetig ! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer ( wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.

1. Paramagnetisch:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}=\overline{M}+\overline{H}\\ & \overline{M}\uparrow \uparrow \overline{H}\\ \end{array}$

1. Paramagnetisch:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}=\overline{M}+\overline{H}\\ & \overline{M}\uparrow \downarrow \overline{H}\\ \end{array}$

2.2 Sei speziell $\overline{B}\left|\right|$ Grenzfläche ( z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso !)): Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen ( E und H):

In diesem Fall ist $\overline{H}$ stetig für $\overline{g}=0$ ( kein Oberflächenstrom)