Magnetisierung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Magnetisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=2}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__

Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente

${\bar {m}}$

a) Für

${\bar {B}}=0$

vorhandene, permanente magnetische Momente

${\bar {m}}$

werden zur Minimierung der potenziellen Energie

${{W}_{mag.}}=-{\bar {m}}{\bar {B}}$

vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen

• paramagnetisches Verhalten

1. durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.

• diamagnetisches Verhalten !

Makroskopisch gemittelte Felder

mikroskopische magnetische Dipoldichte: Wie bei Polarisationsdichte:

${\begin{aligned}&{{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{\bar {m}}_{i}}(t)\delta \left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right)\\&{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{\bar {p}}_{i}}(t)\delta \left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right)\quad el.Dipoldichte\\\end{aligned}}$

Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen

$\Delta V$

${\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)$

makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung

Ziel: Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte

${\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)$

und den effektiven Feldern

${\bar {B}}$

in der Materie finden. Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte

${{\bar {j}}_{M}}$

als Quelle der Felder eingeführt werden kann:

$\nabla \times {{\bar {B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar {j}}_{M}}$

bzw.

$\nabla \times {\bar {M}}={{\bar {j}}_{M}}$

effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):

${\begin{aligned}&{\bar {B}}{\acute {\ }}={\bar {B}}+{{\bar {B}}_{M}}\\&\Rightarrow \nabla \times \left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}{\acute {\ }}\right)=\nabla \times \left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\right)+{{\bar {j}}_{M}}={\bar {j}}+{{\bar {j}}_{M}}\\\end{aligned}}$

Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom j :

${\begin{aligned}&{\bar {B}}{\acute {\ }}={\bar {B}}+{{\bar {B}}_{M}}\\&\nabla \times \left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}{\acute {\ }}-{\bar {M}}\right)={\bar {j}}\\&{\bar {H}}={\frac {1}{{\mu }_{0}}}\left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}{\acute {\ }}-{{\bar {B}}_{M}}\right)={\frac {\bar {B}}{{\mu }_{0}}}\\\end{aligned}}$

Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:

${\begin{aligned}&{{\bar {A}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\sum \limits _{i}{}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}{{\dot {\bar {p}}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)+\nabla \times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}{{\bar {m}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\&{{\bar {p}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)\quad elektrDipolmoment\\&{{\bar {m}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)\quad magnetDipolmoment\\&\Rightarrow {{\bar {A}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\dot {\bar {p}}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\\end{aligned}}$

mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte

${{\bar {p}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

und der magnetischen Dipoldichte

${{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:

${\begin{aligned}&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\bar {A}}_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)\\&={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\dot {\bar {p}}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\&=={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\dot {\bar {P}}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\\end{aligned}}$

Wobei nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind ( vergleiche oben)

Umformung liefert:

${\begin{aligned}&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\dot {\bar {P}}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\&\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)=\\&=-\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)+\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times {\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\\&t{\acute {\ }}=t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\\&\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)=0\\&\Rightarrow {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\dot {\bar {P}}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times {\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\right]\\\end{aligned}}$

Definition

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {P}}}={{\bar {j}}_{p}}\\&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times {\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)={{\bar {j}}_{M}}\\\end{aligned}}$

Ersteres: Polarisationsstromdichte Letzteres: Magnetisierungsstromdichte

Also:

${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\left[{{\bar {j}}_{p}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\bar {j}}_{M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\right]$

Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !

es gilt der Erhaltungssatz:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t{\acute {\ }}}}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot {\dot {\bar {P}}}=-\nabla \cdot {{\bar {j}}_{p}}\\&\Rightarrow {{\dot {\rho }}_{p}}+\nabla \cdot {{\bar {j}}_{p}}=0\\\end{aligned}}$

Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung !