Retardierte Potenziale

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Retardierte Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=2}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__

Aufgabe Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ \end{align}}

zu vorgegebenen erzeugenden Quellen

$\rho \left({\bar {r}},t\right),{\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)$

und Randbedingungen

$\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\to 0f{\ddot {u}}r\quad {\bar {r}}\to \infty$

Methode: Greensche Funktion verwenden:

$G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)$

In der Elektrodynamik:

$\#u\left({\bar {r}},t\right)=-f\left({\bar {r}},t\right)$ mit ${\begin{aligned}&u\left({\bar {r}},t\right):=\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&f\left({\bar {r}},t\right)={\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}},{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Fourier- Trafo:

${\begin{aligned}&{{\hat {\#}}^{-1}}:=-{\hat {G}}\\&\Rightarrow {\hat {u}}\left({\bar {k}},\omega \right)={\hat {G}}{\hat {f}}\left({\bar {k}},\omega \right)\\\end{aligned}}$

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

$u\left({\bar {r}},t\right)=\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{\infty }{dt{\acute {\ }}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)$ mit $\#G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=-\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\delta \left(t-t{\acute {\ }}\right)$

Vergleiche: Elektrostatik:

$\Delta \Phi \left({\bar {r}}\right)=-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left({\bar {r}}\right)$

Fourier- Trafo:

${\begin{aligned}&{{\Delta }^{-1}}:=-{\hat {G}}\\&\Rightarrow {\hat {\Phi }}\left({\bar {k}}\right)={\hat {G}}{\hat {\rho }}\\&{\hat {G}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

$\Phi \left({\bar {r}}\right)=\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)$ mit ${\begin{aligned}&G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&\Delta G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Kausalitätsbedingung:

$G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=0$

für t<t´

Somit kann

$u\left({\bar {r}},t\right)$

nur von

$f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)$

mit t´ < t beeinflusst werden

Fourier- Transformation:

${\begin{aligned}&f\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right){{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&{\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r\int _{-\infty }^{\infty }{dt}}f\left({\bar {r}},t\right){{e}^{-i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\\end{aligned}}$

Ebenso:

${\begin{aligned}&u\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\hat {u}}\left({\bar {q}},\omega \right){{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow \#u\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\hat {u}}\left({\bar {q}},\omega \right)\#{{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\#{{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}=-\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right){{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\\end{aligned}}$

Aber es gilt:

${\begin{aligned}&\#u\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right){{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow \left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right){\hat {u}}\left({\bar {q}},\omega \right)={\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right)\\&\Rightarrow {\hat {u}}\left({\bar {q}},\omega \right)={\frac {{\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right)}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}\\&\Rightarrow {\hat {G}}={\frac {1}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Rücktransformation:

${\begin{aligned}&u\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\frac {{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{\infty }{dt}}{\acute {\ }}f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right){{e}^{-i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&u\left({\bar {r}},t\right)=\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{\infty }{dt}}{\acute {\ }}\left\{{\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\frac {{e}^{i{\bar {q}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-i\omega \left(t-t{\acute {\ }}\right)}}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}\right\}f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\\&\Rightarrow {\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\frac {{e}^{i{\bar {q}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-i\omega \left(t-t{\acute {\ }}\right)}}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}=G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.

Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration

für

$\omega =\pm cq$

gibt es Polstellen. Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:

Der obere Integrationsweg wird durch

$\tau <0$

charakterisiert, der untere Integrationsweg durch

$\tau >0$.

Dabei:

$\tau =t-t{\acute {\ }}$

Das Integral über den Halbkreis:

Oberer Halbkreis:

$\tau <0$

${\begin{aligned}&\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad 0\leq \phi \leq \pi \\&d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\&\left|{{e}^{-i\omega \tau }}\right|={{e}^{R\sin \phi \tau }}\\&\sin \phi >0\\&\tau <0\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\R\to \infty \\\end{matrix}}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0\\\end{aligned}}$

Unterer Halbkreis:

$\tau >0$

${\begin{aligned}&\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad \pi \leq \phi \leq 2\pi \\&d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\&\left|{{e}^{-i\omega \tau }}\right|={{e}^{R\sin \phi \tau }}\\&\sin \phi <0\\&\tau >0\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\R\to \infty \\\end{matrix}}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0\\\end{aligned}}$

Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}}

(Residuensatz)

Für

$\tau <0$

liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C

${\begin{aligned}&\Rightarrow \Gamma ({\bar {q}},\tau )=0\\&\Rightarrow G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=0:=G\left({\bar {s}},\tau \right)=0\\\end{aligned}}$

für t<t´

Dies ist die Kausalitätsbedingung.

Für

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau >0}

$\Gamma ({\bar {q}},\tau )=-2\pi i\sum \limits _{\omega =\pm cq}^{}{}\operatorname {Re} s{\frac {{e}^{-i\omega \tau }}{{\frac {1}{{c}^{2}}}\left(\omega -cq\right)\left(\omega +cq\right)}}$

Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:

$\oint \limits _{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum \limits _{Pole}^{}{}\operatorname {Re} sf(z)$,

falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen!

$\Gamma ({\bar {q}},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left({\frac {{e}^{-icq\tau }}{2cq}}+{\frac {{e}^{icq\tau }}{-2cq}}\right)$

$G({\bar {s}},\tau )={\frac {c}{{\left(2\pi \right)}^{3}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}q{{e}^{i{\bar {q}}{\bar {s}}}}\left({\frac {{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2iq}}\right)$

Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:

${\begin{aligned}&{{d}^{3}}q={{q}^{2}}dq\sin \vartheta d\vartheta d\phi \\&{\bar {q}}{\bar {s}}=qs\cos \vartheta \\&G({\bar {s}},\tau )={\frac {c}{{\left(2\pi \right)}^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }{}dqq\left({\frac {{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2i}}\right)\int \limits _{-1}^{1}{}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}\int \limits _{0}^{2\pi }{}d\phi \\&\int \limits _{-1}^{1}{}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}={\frac {{{e}^{iqs}}-{{e}^{-iqs}}}{iqs}}\\&\xi :=cq\\&\Rightarrow G({\bar {s}},\tau )={\frac {c}{2{{\left(2\pi \right)}^{2}}s}}\int \limits _{0}^{\infty }{}d\xi \left\{{{e}^{i\left(\tau -{\frac {s}{c}}\right)\xi }}+{{e}^{-i\left(\tau -{\frac {s}{c}}\right)\xi }}-{{e}^{i\left(\tau +{\frac {s}{c}}\right)\xi }}-{{e}^{-i\left(\tau +{\frac {s}{c}}\right)\xi }}\right\}\\&\Rightarrow G({\bar {s}},\tau )={\frac {c}{4\pi s}}\int \limits _{0}^{\infty }{}d\xi \left\{\delta \left(\tau -{\frac {s}{c}}\right)-\delta \left(\tau +{\frac {s}{c}}\right)\right\}\\&\delta \left(\tau +{\frac {s}{c}}\right)=0\quad f{\ddot {u}}r\ \tau >0\\\end{aligned}}$

Also lautet das Ergebnis:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })=\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad t<t\acute{\ } \\ \end{matrix} \right.\ t>t\acute{\ }}

Retardierte Greensfunktion (kausal)

Physikalische Interpretation

$G({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }})$

ist das Potenzial

$\Phi ({\bar {r}},t)$,

das von einer punktförmigen Ladungsdichte

${\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\delta \left(t-t{\acute {\ }}\right)$

am Punkt

${\bar {r}}{\acute {\ }}$

zur Zeit t´ erzeugt wird.

Die Eigenschaften:

• Kausalität
• Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
• $\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|=c\left(t-t{\acute {\ }}\right)$

Nebenbemerkung:

Für den Integrationsweg

Oberer Halbkreis:

$\tau <0$

Unterer Halbkreis:

$\tau >0$

erhält man die avancierte Greensfunktion (=0 für t > t´). Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an

${\bar {r}}{\acute {\ }}$

zur zeit t´ zusammenzieht!

Mit

$G({\bar {r}},t)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}{\frac {1}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\delta \left(t-t{\acute {\ }}-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{\frac {1}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen

$\rho \left({\bar {r}},t\right),{\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)$

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\\end{aligned}}$

Die retardierten Potenziale

$\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$

sind bestimmt durch

${\bar {r}}{\acute {\ }}$

zu retardierten Zeiten

$t{\acute {\ }}=t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}$.

Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.