Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Retardierte Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Kategorie:Elektrodynamik
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Aufgabe
Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:
zu vorgegebenen erzeugenden Quellen
und Randbedingungen
Methode: Greensche Funktion verwenden:
In der Elektrodynamik:
mit
Fourier- Trafo:
Rück- Trafo:
es folgt schließlich:
mit
Vergleiche: Elektrostatik:
Fourier- Trafo:
Rück- Trafo:
es folgt schließlich:
mit
Kausalitätsbedingung:
für t<t´
Somit kann
nur von
mit t´ < t beeinflusst werden
Fourier- Transformation:
Ebenso:
Aber es gilt:
Rücktransformation:
Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.
Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration
für
gibt es Polstellen.
Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:
Der obere Integrationsweg wird durch
charakterisiert, der untere Integrationsweg durch
.
Dabei:
Das Integral über den Halbkreis:
Oberer Halbkreis:
Unterer Halbkreis:
Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:
( Residuensatz)
Für
liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C
für t<t´
Dies ist die Kausalitätsbedingung.
Für
Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:
,
falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen !
Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:
Also lautet das Ergebnis:
Retardierte Greensfunktion (kausal)
Physikalische Interpretation
ist das Potenzial
, das von einer punktförmigen Ladungsdichte
am Punkt
zur Zeit t´ erzeugt wird.
Die Eigenschaften:
Nebenbemerkung:
Für den Integrationsweg
Oberer Halbkreis:
Unterer Halbkreis:
erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´).
Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an
zur zeit t´ zusammenzieht !
Mit
folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen
Die retardierten Potenziale
sind bestimmt durch
zu retardierten Zeiten
.
Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.