Magnetostatische Feldgleichungen

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Magnetostatische Feldgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !!

Mit dem Vektorpotenzial

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß $\overline{A}(\overline{r})\to \overline{A}+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }$ umgeeicht werden kann. ( $\mathrm{\Psi }(\overline{r})$ beliebig möglich, da $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }=0$ )

Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:

$\overline{B}=rot\overline{A}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }\times \frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

Beweis:

$\begin{array}{rl}& rot\overline{A}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }\times \frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}\\ & \Rightarrow rot\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}=\overline{B}(\overline{r})\\ \end{array}$

Folgende Aussagen sind äquivalent: Es existiert ein Vektorpotenzial mit

$\begin{array}{rl}& \overline{B}=rot\overline{A}(\overline{r})\\ & \iff \\ \end{array}$

$div\overline{B}=0$

Beweis:

$div(rot\overline{A}(\overline{r}))=0$

es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen".

Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !) Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen ! Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten ${10}^{-35}s$ erzeugt worden sein sollen.

Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.) Der Zusammenhang zwischen

$\overline{B}(\overline{r})$ und $\overline{j}(\overline{r})$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r}))=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r}))-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r})\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }\cdot \frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\nabla }}_r\cdot \frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)+\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=-\frac{\partial }{\partial t}\rho =0\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)\\ \end{array}$

Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt !

Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t)}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t)}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}={\mu }_0{\epsilon }_0\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }{d}^3\overline{f}\stackrel{´}{}\left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Mit dem Gaußschen Satz. Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:

$\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }{d}^3\overline{f}\stackrel{´}{}\left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)=0$

Also:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$

Also:

$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r}))={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}(\overline{r},t)$

Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\Delta }}_r\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\Delta }}_r\cdot \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)\\ & =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-{\mu }_0\overline{j}(\overline{r})\\ \end{array}$

wegen

${\mathrm{\Delta }}_r\cdot \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)=4\pi \delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

Also:

$\mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r}))-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r})={\mu }_0\overline{j}(\overline{r})+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}(\overline{r},t)$

Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})={\mu }_0\overline{j}(\overline{r})\\ & {\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}(\overline{r},t)=0\\ \end{array}$

Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !!

Integration über eine Fläche F mit Rand $\partial F$ liefert die Intgralform:

$\begin{array}{rl}& \underset{}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})=\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{B}(\overline{r})=\underset{}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot {\mu }_0\overline{j}(\overline{r})={\mu }_{0}I\\ & \underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{B}(\overline{r})={\mu }_{0}I\\ \end{array}$

Mit dem Satz von Stokes Das sogenannte Durchflutungsgesetz !

Zusammenfassung:

Magnetostatik:

$div\overline{B}=0\iff \overline{B}=rot\overline{A}$ ( quellenfreiheit)

$\begin{array}{rl}& rot\overline{B}={\mu }_0\overline{j}(\overline{r})\iff \underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\cdot \overline{B}={\mu }_{0}I\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }\overline{A}=-{\mu }_0\overline{j}(\overline{r})\\ \end{array}$

Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=0$

Dies geschieht durch die Umeichung

$\begin{array}{rl}& \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r})\to \overline{A}+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r})\to \mathrm{\nabla }\times \overline{A}+\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\\ & \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }=0\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r})\to \mathrm{\nabla }\times \overline{A}\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r}))=\mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})={\mu }_0\overline{j}\\ & \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r}))=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r}))-\mathrm{\Delta }\overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r})\\ \end{array}$

Elektrostatik:

$rot\overline{E}=0\iff \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$ ( Wirbelfreiheit)

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=\rho \\ & \iff {\epsilon }_0\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{E}=Q\\ \end{array}$ differenzielle Form / integrale Form

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho \left(\overline{r}\right)$ ( Poissongleichung)