Magnetostatische Feldgleichungen

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

65px|Kein GFDL

Der Artikel Magnetostatische Feldgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !!

Mit dem Vektorpotenzial

${\bar {A}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}$

Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß ${\bar {A}}({\bar {r}})\to {\bar {A}}+\nabla \Psi$ umgeeicht werden kann. ( $\Psi ({\bar {r}})$ beliebig möglich, da $\nabla \times \nabla \Psi =0$ )

Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:

${\bar {B}}=rot{\bar {A}}({\bar {r}})=\nabla \times {\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}$

Beweis:

${\begin{aligned}&rot{\bar {A}}({\bar {r}})=\nabla \times {\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\times {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\\&{{\nabla }_{r}}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}=-{\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}\\&\Rightarrow rot{\bar {A}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}={\bar {B}}({\bar {r}})\\\end{aligned}}$

Folgende Aussagen sind äquivalent: Es existiert ein Vektorpotenzial mit

${\begin{aligned}&{\bar {B}}=rot{\bar {A}}({\bar {r}})\\&\Leftrightarrow \\\end{aligned}}$

$div{\bar {B}}=0$

Beweis:

$div(rot{\bar {A}}({\bar {r}}))=0$

es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen".

Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !) Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen ! Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten ${{10}^{-35}}s$ erzeugt worden sein sollen.

Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.) Der Zusammenhang zwischen

${\bar {B}}({\bar {r}})$ und ${\bar {j}}({\bar {r}})$

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {B}}({\bar {r}})=\nabla \times \left(\nabla \times {\bar {A}}({\bar {r}})\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})\right)-\Delta {\bar {A}}({\bar {r}})\\&\nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})=\nabla \cdot {\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}\cdot \left({\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }}){{\nabla }_{r}}\cdot {\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}=-{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&\Rightarrow \nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})=-{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left({\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right)+{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]\\&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})=-{\frac {\partial }{\partial t}}\rho =0\\&\Rightarrow \nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})=-{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left({\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right)\\\end{aligned}}$

Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt !

Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:

${\begin{aligned}&\Rightarrow \nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})=-{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left({\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }},t)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }},t)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\Phi ({\bar {r}},t)\\&\Rightarrow \nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})=-{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\oint \limits _{S\infty }{}{{d}^{3}}{\bar {f}}{\acute {\ }}\left({\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right)-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi ({\bar {r}},t)\\\end{aligned}}$

Mit dem Gaußschen Satz. Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:

$\oint \limits _{S\infty }{}{{d}^{3}}{\bar {f}}{\acute {\ }}\left({\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right)=0$

Also:

$\nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})=-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi ({\bar {r}},t)$

Also:

$\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})\right)={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}({\bar {r}},t)$

Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach

${\begin{aligned}&\Delta {\bar {A}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\Delta }_{r}}\cdot \left({\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }}){{\Delta }_{r}}\cdot \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right)\\&={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}({\bar {r}})\\\end{aligned}}$

wegen

${{\Delta }_{r}}\cdot \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right)=4\pi \delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)$

Also:

$\nabla \times {\bar {B}}({\bar {r}})=\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})\right)-\Delta {\bar {A}}({\bar {r}})={{\mu }_{0}}{\bar {j}}({\bar {r}})+{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}({\bar {r}},t)$

Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt:

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {B}}({\bar {r}})={{\mu }_{0}}{\bar {j}}({\bar {r}})\\&{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}({\bar {r}},t)=0\\\end{aligned}}$

Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !!

Integration über eine Fläche F mit Rand $\partial F$ liefert die Intgralform:

${\begin{aligned}&\int _{}^{}{d{\bar {f}}\cdot }\nabla \times {\bar {B}}({\bar {r}})=\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {B}}({\bar {r}})=\int _{}^{}{d{\bar {f}}\cdot }{{\mu }_{0}}{\bar {j}}({\bar {r}})={{\mu }_{0}}I\\&\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {B}}({\bar {r}})={{\mu }_{0}}I\\\end{aligned}}$

Mit dem Satz von Stokes Das sogenannte Durchflutungsgesetz !

Zusammenfassung:

Magnetostatik:

$div{\bar {B}}=0\Leftrightarrow {\bar {B}}=rot{\bar {A}}$ ( quellenfreiheit)

${\begin{aligned}&rot{\bar {B}}={{\mu }_{0}}{\bar {j}}({\bar {r}})\Leftrightarrow \oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}\cdot {\bar {B}}={{\mu }_{0}}I\\&\Rightarrow \Delta {\bar {A}}=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}({\bar {r}})\\\end{aligned}}$

Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung:

$\nabla \cdot {\bar {A}}=0$

Dies geschieht durch die Umeichung

${\begin{aligned}&{\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {r}})\to {\bar {A}}+\nabla \Psi \\&\nabla \times {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {r}})\to \nabla \times {\bar {A}}+\nabla \times \nabla \Psi \\&\nabla \times \nabla \Psi =0\Rightarrow \nabla \times {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {r}})\to \nabla \times {\bar {A}}\\&\Rightarrow \nabla \times \left(\nabla \times {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {r}})\right)=\nabla \times {\bar {B}}({\bar {r}})={{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\nabla \times \left(\nabla \times {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {r}})\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {r}})\right)-\Delta {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {r}})\\\end{aligned}}$

Elektrostatik:

$rot{\bar {E}}=0\Leftrightarrow {\bar {E}}=-\nabla \Phi$ ( Wirbelfreiheit)

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}=\rho \\&\Leftrightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint \limits _{\partial V}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}=Q\\\end{aligned}}$ differenzielle Form / integrale Form

$\Rightarrow \Delta \Phi =-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left({\bar {r}}\right)$ ( Poissongleichung)