Elektrisches Feld und Potenziale

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Elektrisches Feld und Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen $q_i$ bei ${\overline{r}}_i$ ,i=1,2,... auf die Ladung $q_{}$ bei ${\overline{r}}_{}$

${{\overline{F}}_e}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i\frac{q{q}_i}{{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}^2}\frac{\overline{r}-{\overline{r}}_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}$

Darüber wird das elektrische Feld definiert:

$q\cdot \overline{E}\equiv {{\overline{F}}_e}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i\frac{q{q}_i}{{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}^2}\frac{\overline{r}-{\overline{r}}_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}$

Also:

$\overline{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i\frac{q_i}{{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}^2}\frac{\overline{r}-{\overline{r}}_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}$

Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?

• Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen ( maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
• Das Feld
• $\overline{E}(\overline{r})$
• ist der PHYSIKALISCHE Zustand des leeren Raumes bei
• $\overline{r}$
• .
• Eigenständige FELDDYNAMIK ( partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung ( Retardierungseffekte)
• Feld muss IMPULS, DREHIMPULS und ENERGIE aufnehmen und abgeben können.

Einheit:

$\begin{array}{rl}& \left[E\right]=\frac{N}{C}=\frac{kgm}{C{s}^2}=\frac{V}{m}\\ & 1V:=1\frac{kg{m}^2}{C{s}^2}\\ \end{array}$

Das Volt ist benannt nach A. Volta ( 1745 - 1887)

Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung: Dabei sollte q-> 0, damit keine Rückwirkung auf $q_i$ erfolgt.

Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:

$[\overline{E}(\overline{r})]=\begin{array}{c}\lim \\ q\to 0\\ \end{array}\frac{1}{q}\overline{F}(\overline{r})$

Das Elektrostatische Potenzial Mit $\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\frac{1}{r\stackrel{´}{}}=-\frac{1}{r{\stackrel{´}{}}^3}\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & r\stackrel{´}{}:=|\overline{r}-{\overline{r}}_i|\\ \end{array}$

Läßt sich schreiben:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i^{}\frac{q_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i{|}^3}(\overline{r}-{\overline{r}}_i)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r})\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{r}):=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i^{}\frac{q_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}\\ \end{array}$

Mit dem elektrostatischen Potenzial $\mathrm{\Phi }(\overline{r}):=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i^{}\frac{q_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}$ , Einheit : 1 V

Kontinuierliche Ladungsverteilung

$\begin{array}{rl}& q_i\to d^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & \sum _i^{}{q}_i\to \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Mit der Ladungsdichte $\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})$ . Diese muss beschränkt sein und $O\left(r^{-3-\epsilon }\right),\epsilon >0$ für $r\to \mathrm{\infty }$ .

Es wird

Bei Verteilung von Punktladungen:

$\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})=\sum _i^{}{q}_i\delta (\overline{r}\stackrel{´}{}-{\overline{r}}_i)=\sum _i^{}{q}_i\prod _{j=1}^3\delta (x_j\stackrel{´}{}-{x_j}_i)$

Quellen des elektrischen Feldes:

Bei Punktladung q bei $\overline{r}\stackrel{´}{}=0\Rightarrow \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\cdot \frac{\overline{r}}{r}$

Legt man eine geschlossene Oberfläche S um q, so beobachtet man einen elektrischen Kraftfluss:

${\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_{S}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot {\oint }_S\frac{d\overline{f}\cdot \overline{r}}{r^3}={\oint }_{S}df{E}_n(\overline{r})$ als geschl. Flächenintegral über die Normalkomponenten des austretenden elektrischen Feldes

${\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_{S}df|\overline{E}(\overline{r})|\cos \mathrm{\Theta }$

$d\overline{f}$ entspricht einem Raumwinkel $d\mathrm{\Omega }:d\overline{f}\cdot \overline{r}=df\cdot r\cdot \cos \mathrm{\Theta }=r^{3}d\mathrm{\Omega }$

${\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_{S}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot {\oint }_{S}d\mathrm{\Omega }=\frac{q}{{\epsilon }_0}$

$\Rightarrow {\epsilon }_0{\oint }_{S}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=q$

Dies kann leicht auf kontinuierliche Ladungsverteilungen verallgemeinert werden:

$\Rightarrow {\epsilon }_0{\oint }_{\partial V}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$

Der Fluß des elektrischen Feldes einer von $S=\partial V$ eingeschlossenen Gesamtladung

Integralform des Coulomb- Gesetzes

Der Gaußsche Integralsatz

${\oint }_{\partial V}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}rdiv\overline{E}\left(\overline{r}\right)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)$

wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet !

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho \left(\overline{r}\right)={\epsilon }_0\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)\\ & \Rightarrow {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\rho \left(\overline{r}\right)\\ \end{array}$

Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.

${\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\rho \left(\overline{r}\right)$

sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind. Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre $\overline{E}\left(\overline{r}\right),\rho \left(\overline{r}\right)$

Äquivalente Aussagen der Elektrostatik

2. $\overline{E}\left(\overline{r}\right)$
3. besitzt ein skalares Potenzial
4. $\overline{E}\left(\overline{r}\right)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r})$
7. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}d\overline{s}\overline{E}\left(\overline{r}\right)$
8. , also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig
10. $\mathrm{\nabla }\times \overline{E}\left(\overline{r}\right)=0$
11. : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei

Es gilt:

$1)\iff 2)\iff 3)$

Beweis: $1)\iff 3)$ Stokescher Satz:

$0={\oint }_{\partial F}d\overline{s}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\underset{F}{\overset{}{\int }}\mathrm{\nabla }\times \overline{E}\left(\overline{r}\right)d\overline{f}$ für beliebige Flächen F mit einer Umrandung $\partial F$ .