Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Deterministisches Chaos basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Kategorie:Mechanik
__SHOWFACTBOX__
Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit
![{\displaystyle n\geq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73136e4a27fe39c123d16a7808e76d3162ce42bb)
( autonom):
Seltsamer ( chaotischer) Attraktor
komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.
Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:
quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen
wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-
niedrigdimensionaler Phasenraum grade. ( Statistisches Ensemble)
Attraktor: Torus
![{\displaystyle {{T}^{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7716b3123ee675093d70a88577405a2f69924fed)
d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
Autokorrelationsfunktion ![{\displaystyle \left\langle x(t)x(t+\tau )\right\rangle :={\begin{matrix}\lim \\T\to \infty \\\end{matrix}}{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7de1aff9dcf6e11ecdcf0f90c08a30c996e7bb8)
periodisch in
![{\displaystyle \tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c)
![{\displaystyle \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6366f51b1cd0055d138d6ccf9880035a5bce0e)
für
![{\displaystyle \tau \to \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d637e88503e9b1f8f1029cdd2f6b748f0318f0)
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e)
für
![{\displaystyle \tau >{{\tau }_{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db65f2257ebf2d346f54ebd1dac2cdded6c9ee03)
- Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum):
![{\displaystyle S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau )\right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61d9a6a54c90476175c1a8d00516bfc2ae887b1)
diskrete Frequenzen
![{\displaystyle {{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f87dd96e6f84a27d6e770bdcf0172a86175adc1)
b r e i t e s F r e q u e n z b a n d
Instabilität der Bewegung bei kleinen
Störungen der Anfangsbedingungen
typische universelle
Bifurkationszenarien
Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.
Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:
Bahnstabilität / Orbitale Stabilität
bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
- Röhre um
![{\displaystyle \Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9265d4bf75b28aa13b64ef88a7c822ec28dd95e3)
Aymptotisch bahnstabil:
Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t-> unendlich
Ljapunov- stabil
Für DASSELBE t gilt:
![{\displaystyle \left|\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})-\Phi (t,{{\bar {y}}_{0}})\right|\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b4627bab563350c0da7273ba0c579ceb04a0c8)
für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)
Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve
![{\displaystyle \Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9265d4bf75b28aa13b64ef88a7c822ec28dd95e3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\delta {{\dot {x}}_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{}{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}({\bar {x}}(t),t)\delta {{x}_{k}}\\&{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}({\bar {x}}(t),t):={{A}_{ik}}(t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33dd74c4a2dc1963677cf842ae87ad23992176f1)
Dabei:
![{\displaystyle {{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c42a9f28aeb254fea5e1af0713fdeadd7e711d)
Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren
![{\displaystyle {{\bar {\xi }}^{(k)}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51327db8ce2c583ca6fda2b36f41527940725322)
Formale Lösung:
![{\displaystyle \delta {\bar {x}}(t)={{e}^{\int _{0}^{t}{dt{\acute {\ }}A(t{\acute {\ }})}}}\delta {\bar {x}}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0f54d80f2eaaf65d196f2d0ab1d64a50ddac8c)
Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um
![{\displaystyle {{\bar {x}}_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabacd050969b3677e202feda1362b5d66b26d76)
, also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
![{\displaystyle {{p}_{k}}(t){\tilde {\ }}{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ab73e8a3a7eff4163fb1a2d87fe310b3f3b22a)
Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten
![{\displaystyle {{\bar {\lambda }}_{k}}:={\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\ {\frac {1}{t}}\ln {\frac {{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504c4e2f1ad63dd27f4f5749c86622daf810a6cc)
Nebenbemerkung: Sei
![{\displaystyle \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
der führende ( größte) Ljapunov- Exponent
![{\displaystyle \lambda :={\begin{matrix}\lim \ \sup \\t\to \infty \\\end{matrix}}\ {\frac {1}{t}}\ln \left|{\bar {x}}(t)-{\bar {y}}(t)\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16415ee5c9372b43d560905bf18ec89f25acf67a)
![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
![{\displaystyle \left|\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})-\Phi (t,{{\bar {y}}_{0}})\right|{\tilde {\ }}{{e}^{\lambda t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e057cced7dc87204c3f73bf5d3e76327266d3a00)
Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit
![{\displaystyle {{e}^{\lambda t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f6496912367b48b3dcbc5ec15c067e984b22fe)
.
Für
![{\displaystyle \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft
![{\displaystyle \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)
Für den chaotischen Attraktor im
![{\displaystyle {{R}^{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7678f234c94698420f9256dd3e5a948739f1b375)
gilt:
Auf dem Attraktor:
![{\displaystyle {{\bar {\lambda }}_{1}}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e8160732786128e0a116903ddeffbcbc3013ed)
auf dem Attraktor: chaotische Bewegung
![{\displaystyle {{\bar {\lambda }}_{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9ccbcbc1e8adbf37cadb1129e55fdf2bf8a8fb)
- Bifurkationspunkte
![{\displaystyle {{\bar {\lambda }}_{3}}<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563d1d022e59a89948d8b79932f2e1b88d84eb6c)
- Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell).
Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: