Störungen integrabler Systeme

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Störungen integrabler Systeme basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen

$\overline{I}(I_1,...,I_f)$ und der Winkelvariablen $\overline{\theta }({\theta }_1,...,{\theta }_f)$ , Hamiltonfunktion $H_0(\overline{I})$

Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke $\epsilon$

$H(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )=H_0(\overline{I})+\epsilon H_1(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )$

In diesem Fall ist $\theta$ nicht mehr zyklisch. $\overline{I}(I_1,...,I_f)$ ist also keine Bewegungskonstante mehr !

Beispiel:

Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

• integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
• Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?

• Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

• Stabilitätsaussagen

Voraussetzung:

Die Frequenzen des integrablen Systems $H_0(\overline{I})$

sind rational unabhängig, also:

$\sum _{i=1}^f{r}_i{\omega }_i=0r_i\in Z\iff r_1=...=r_f=0$

Dann überdeckt jede Bahn für festes $I_k={\alpha }_k$ den Torus $T^f$ dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

ERGODISCHE Bewegung ( nichtresonanter Torus)

KAM- Theorem

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt

$\left|\sum _{i=1}^f{r}_i{\omega }_i\right|\ge \gamma {\left|\overline{r}\right|}^{\alpha }\alpha ,\gamma >0$

So hat das gestörte System $H(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )=H_0(\overline{I})+\epsilon H_1(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )$ für kleine $\epsilon$ überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von $H_0$ werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

Anwendung:

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

• störungstheoretische Entwicklung in

$\epsilon$

• Mittelung über die Störungen