Wirkungs- und Winkelvariable

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Wirkungs- und Winkelvariable basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.

Klassifikation von periodischem Verhalten:

• geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
• dabei gilt:

$\begin{array}{rl}& q(t+\tau )=q(t)\\ & p(t+\tau )=p(t)\\ \end{array}$

• periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:

$\begin{array}{rl}& q(t+\tau )=q(t)+q_0\\ & p(t+\tau )=p(t)\\ \end{array}$

• Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:

$\begin{array}{rl}& q(t)=\varphi \\ & q_0=2\pi \\ \end{array}$

Beispiel: Das mathematische Pendel ( mit beliebig großen Auslenkungen)

f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel $\varphi$ ., s= $\varphi$ l $\begin{array}{rl}& T=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\varphi }}^2\\ & V=mgl(1-\cos \varphi )\\ \end{array}$

verallgemeinerter kanonischer Impuls:

$\begin{array}{rl}& p_{\varphi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi }}=m{l}^2\dot{\varphi }\\ & H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})=T+V=\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{l}^2}+mgl(1-\cos \varphi )\\ \end{array}$ für ein konservatives System

Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:

$\begin{array}{rl}& \dot{\varphi }=\frac{\partial H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})}{\partial p_{\varphi }}=\frac{p_{\varphi }}{m{l}^2}\\ & {\dot{p}}_{\varphi }=-\frac{\partial H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})}{\partial \varphi }=-mgl\sin \varphi \\ \end{array}$

1. Integral ( Enrgieerhaltung): Phasenbahn

$H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})=T+V=\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{l}^2}+mgl(1-\cos \varphi )=E=const.$

Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:

$\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{l}^2}+mgl\frac{{\varphi }^2}{2}=E=const.$

-> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.

Gleichgewichtslagen: Fixpunkte: $\begin{array}{rl}& \dot{\varphi }={\dot{p}}_{\varphi }=0\\ & p_{\varphi }=0\\ & \varphi =n\pi ,n\in N\\ \end{array}$

$E\le 2mgl$ Libration: Schwingung mit $\left|\varphi \right|\le {\varphi }_0$

$E>2mgl$ Rotation: überschlagendes Pendel: $\varphi$ unbeschränkt

Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn ( Separatrix zwischen a) und b):

Übergang zu neuen kanonischen Variablen ( f=1)

$\begin{array}{rl}& (q,p)\to (\theta ,I)\\ & I(E):=\underset{{\mathrm{\Gamma }}_E}{\oint }pdq\\ \end{array}$

I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn ${\mathrm{\Gamma }}_E$ zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral).

$\theta$ ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.

Gelegentlich findet sich:

$\begin{array}{rl}& (q,p)\to (\theta ,I)\\ & I(E):=\frac{1}{2\pi }\underset{{\mathrm{\Gamma }}_E}{\oint }pdq\\ \end{array}$

In diesem Fall ist $\theta$ auf $2\pi$ normiert.

gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:

$\begin{array}{rl}& p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}\\ & \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I}\\ \end{array}$

Mit der neuen Hamiltonfunktion:

$H(q,\frac{\partial W(q,I)}{\partial q})=E(I)$

Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn $\frac{dI}{dE}\ne 0$ .

Da $\theta$ zyklisch ist muss I konstant sein.

Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für $\theta$ lautet:

$\begin{array}{rl}& \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={\nu }_I=const.\\ & \theta ={\nu }_{I}t+{\theta }_{0}mod1\\ & I=const\\ \end{array}$

Die Lösung für $\theta$

ist bei Normierung auf

$2\pi$ natürlich modulo $2\pi$

zu verstehen.

Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz ${\nu }_I$ berechnet.

Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:

Beispiel: eindimensionaler Oszillator

$H(q,p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q})=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2}{2}{q}^2=E(I)$

Phasenbahn:

$\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}=p=\pm m\omega \sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}-q^2}$

Umkehrpunkte:

$q_{\pm }=\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}}$

Wirkungsvariable:

$\begin{array}{rl}& I(E)=\oint pdq=2m\omega \underset{q_{-}}{\overset{q_{+}}{\int }}\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}-q^2}dq\\ & I(E)=2m\omega {[\frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}-q^2}+\frac{E}{m{\omega }^2}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}}}]}_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E\\ \end{array}$

Transformierte Hamiltonfunktion:

$\begin{array}{rl}& \overline{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I\\ & \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={\nu }_I\\ \end{array}$

Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

Nebenbemerkungen:

1. $I=\frac{2\pi }{\omega }E=\tau E$ hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

$\theta$ ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

• die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 ( Kreis mit Radius 1) abgebildet.

Verallgemeinerung auf beliebiges f:

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz

${\omega }_j=\frac{2\pi }{{\tau }_j}$ ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls !

Falls: ${\omega }_1:{\omega }_2:{\omega }_3:...:{\omega }_f$ rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls: $\mathrm{\exists }i,j\to {\omega }_i:{\omega }_j$ irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable ${\theta }_j$ zu ${\omega }_j$

Abbildung auf $S^1\times S^1\times S^1\times ...\times S^1=:T^f$ (f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus !

Satz über integrable Systeme

Einautonomes System ( Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung

$g_k(\overline{q},\overline{p})$ k=1,...,f

mit $g_1(\overline{q},\overline{p})=H(\overline{q},\overline{p})$ Energie und

$\{g_i,g_j\}=0\mathrm{\forall }i,j$

Dann gilt:

1. die durch

$g_k(\overline{q},\overline{p})={\alpha }_k=const$ gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus $T^f$ abbilden.

1. die Allgemeine Bewegung auf

$T^f$ ist quasiperiodisch: $\frac{d{\theta }_i}{dt}={\omega }_i$ , ${\theta }_i$ ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f

1. das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren.

Beispiele: 2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren

Gegenbeispiel: 3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung:

$E,{\overline{P}}_{gesamt},l^2,l_3$

Nebenbemerkung:

Wegen $\{l_3,l_1\}=l_3$ und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung $\{g_i,g_j\}=0$ obgleich gilt: $\{l_i,H\}=0$ .

Wirkunsgvariable:

$I_k({\alpha }_1,...,{\alpha }_f):=\underset{{\mathrm{\Gamma }}_k}{\oint }{p}_{k}d{q}_k(k=1,..,f)$

Für ein separables System gilt:

$\begin{array}{rl}& W=\sum _{j=1}^f{W}_j(q_j,\overline{\alpha })\\ & p_k=\frac{d{W}_k}{d{q}_k}\\ \end{array}$

Die Umkehrung liefert die Energie:

$E\equiv {\alpha }_1={\alpha }_1(I_1,...,I_f)$

Die Hamiltongleichungen lauten:

$\begin{array}{rl}& \dot{\theta }=\frac{\partial E(I_1,...,I_f)}{\partial I_k}={\nu }_k(I_1,...,I_f)\\ & \Rightarrow {\theta }_k={\nu }_{k}t+{\beta }_k\\ & {\nu }_k=\frac{1}{{\tau }_k}\\ \end{array}$

Fazit:

Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen ${\nu }_k$ periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen.