Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:

$\overline{H}\equiv 0$

Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:

$M_2(\overline{q},\overline{P},t)=:S$

dann suchen wir die folgende Trafo:

$\begin{array}{rl}& (\overline{q},\overline{p})\to (\overline{Q},\overline{P})\\ & H(\overline{q},\overline{p},t)\to \overline{H}(\overline{Q},\overline{P})=H+\frac{\partial S}{\partial t}\\ \end{array}$

mit

$\begin{array}{rl}& p_k=\frac{\partial S}{\partial q_k}\\ & Q_k=\frac{\partial S}{\partial P_k}\\ \end{array}$

So dass:

$\overline{H}(\overline{Q},\overline{P})=H(q_1,...,q_f,\frac{\partial S}{\partial q_1},...,\frac{\partial S}{\partial q_f},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für $\begin{array}{rl}& S(\overline{q},\overline{\alpha },t)\\ & {\alpha }_k=P_k=const.\\ \end{array}$

Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen: $\overline{q},t$

Die kanonischen Gleichungen lauten:

$\begin{array}{rl}& {\dot{P}}_k=-\frac{\partial H}{\partial Q_k}\equiv 0\Rightarrow P_k={\alpha }_k=cons\\ & {\dot{Q}}_k=\frac{\partial \overline{H}}{\partial P_k}\equiv 0\Rightarrow Q_k={\beta }_k=const\\ \end{array}$

Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:

$\begin{array}{rl}& H(\overline{q},\overline{p},t)\\ & p_k=\frac{\partial S}{\partial q_k}\\ & H(\overline{q},\frac{\partial S}{\partial \overline{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0Ham.Jac.DGL\\ \end{array}$

1. Lösung der Ham- Jacobi-DGL:

$\begin{array}{rl}& S(\overline{q},\overline{\alpha },t)\\ & {\alpha }_k=P_k=const.\\ \end{array}$

1. Aus der Erzeugenden

$S(\overline{q},\overline{\alpha },t)$ folgt:

$Q_k=\frac{\partial S(\overline{q},\overline{\alpha },t)}{\partial {\alpha }_k}={\beta }_k$

mit der implizierten Umkehrung:

$q_j=q_j(\overline{\alpha },\overline{\beta },t)$

möglich wegen

$\det \frac{{\partial }^{2}S(\overline{q},\overline{\alpha },t)}{\partial {\alpha }_k\partial q_l}\ne 0$

Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4. $p_j=\frac{\partial S}{\partial q_j}=p_j(\overline{q},\overline{\alpha },t)=p_j(\overline{q}(\overline{\alpha },\overline{\beta }),\overline{\alpha },t)$

5. Bestimmung von $\overline{\alpha },\overline{\beta }$ aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.): $q_j(0)=q_j(\overline{\alpha },\overline{\beta },0)$

In vier ( 4.): $p_j(0)=p_j(\overline{\alpha },\overline{\beta },0)$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \overline{\alpha }(\overline{q}(0),\overline{p}(0))\\ & \overline{\beta }(\overline{q}(0),\overline{p}(0))\\ \end{array}$

Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit $q_j(t)$ und $p_j(t)$ bestimmt

Physikalische Bedeutung von S:

$\begin{array}{rl}& \frac{dS}{dt}=\sum _j\frac{\partial S}{\partial q_j}{\dot{q}}_j+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum _j{p}_j{\dot{q}}_j+\frac{\partial S}{\partial t}\\ & \frac{\partial S}{\partial t}=\overline{H}-H=-H\\ & \frac{dS}{dt}=\sum _j{p}_j{\dot{q}}_j-H=L\\ & \Rightarrow S=\int Ldt\\ \end{array}$

S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

Beispiel: 1 dim Oszi

1. $\begin{array}{rl}& H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2\\ & S(q,P,t)\\ \end{array}$

H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit $\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p$

Hamilton- Jacobi DGL:

$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}\right)+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

2. Lösungsansatz:

$S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)$

Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{dW}{dq}\right)}^2+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2=-\frac{dV}{dt}$

Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{dW}{dq}\right)}^2+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2=-\frac{dV}{dt}=\alpha \equiv const$

$V(t)=-\alpha t+V_0$

Es folgt:

$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{dW}{dq}\right)}^2=m^2{\omega }^2(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)\\ & W=m\omega \int dq\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}\\ \end{array}$

Also:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int dq\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}-\alpha t+V_0$

Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int dq\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega [\frac{q}{2}\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}+\frac{\alpha }{m{\omega }^2}\arcsin \left(q\sqrt{\frac{m{\omega }^2}{2\left|\alpha \right|}}\right)]$ 3. $\begin{array}{rl}& Q=\left(\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha }\right)=-t+\frac{1}{\omega }\int dq{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}^{-\frac{1}{2}}=\beta \\ & Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left(q\sqrt{\frac{m{\omega }^2}{2\left|\alpha \right|}}\right)\\ & \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin (\omega (t+\beta ))\\ \end{array}$

Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !

4. $p=\left(\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}\right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2}=\sqrt{2\alpha m}\cos (\omega (t+\beta ))$

5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 !

$p(0)=0,q(0)=q_0\ne 0$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow q_0=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin (\omega (\beta ))\\ & 0=p_0=\sqrt{2\alpha m}\cos (\omega (\beta ))\\ & \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow q_0=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}}\\ & \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{\omega }^2{q_0}^2=E\\ \end{array}$

Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch $S(q,P,t)$ erzeugt wird.

Spezialfall:

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H

$\frac{\partial H}{\partial t}=0\iff \frac{dH}{dt}=\{H,H\}=0$ H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:

$H(\overline{q},\frac{\partial S}{\partial q_1},...,\frac{\partial S}{\partial q_f})+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

Lösungsansatz:

$S(\overline{q},\overline{P},t)=W(\overline{q};\overline{P})-Et$

Somit folgt:

$H(\overline{q},\frac{\partial W}{\partial q_1},...,\frac{\partial W}{\partial q_f})=E$ Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen

$W(\overline{q};\overline{P})$ heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:

$\begin{array}{rl}& p_j=\frac{\partial W}{\partial q_j}\\ & Q_j=\frac{\partial W}{\partial P_j}\\ & \overline{H}=H=E\\ & \Rightarrow {\dot{Q}}_j=\frac{\partial \overline{H}}{\partial P_j}=\frac{\partial E}{\partial {\alpha }_j}={\omega }_j\Rightarrow Q_j={\omega }_{j}t+{\beta }_j=\frac{\partial W}{\partial P_j}\\ \end{array}$

Bezug zur Quantenmechanik

• Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial

$V(\overline{q}),\overline{q}\in R^3$ , gilt auch für $V(\overline{q}),\overline{q}\in R^f$

$W(\overline{q})=const$ sind dann Flächen im R³:

Dabei sind $S(\overline{q},t)=W(\overline{q})-Et$ Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit

$\overline{u}\approx \mathrm{\nabla }W(\overline{q})$ mit $\overline{u}\mathrm{\perp }W(\overline{q})=const$

Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:

$\overline{p}=\mathrm{\nabla }W(\overline{q})$

Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:

$H(\overline{q},\mathrm{\nabla }W)=\frac{1}{2m}{(\mathrm{\nabla }W(\overline{q}))}^2+V(\overline{q})=E$

Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:

$(\frac{-{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(\overline{r}))\mathrm{\Psi }(\overline{r})=E\mathrm{\Psi }(\overline{r})$

links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung. $\mathrm{\Psi }(\overline{r})=e^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}$ als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:

$\begin{array}{rl}& \overline{q}\to \overline{r}\\ & \overline{p}\to \frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }\\ \end{array}$

Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:

$\mathrm{\Delta }{e}^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}=\mathrm{\nabla }\frac{i}{\hslash }\left(\mathrm{\nabla }W{e}^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}\right)\cong -\frac{1}{{\hslash }^2}{\left(\mathrm{\nabla }W\right)}^2{e}^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}$

Veranschaulichung der Zusammenhänge:

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.