Räumliche Translationsinvarianz

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Räumliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:

$L=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{m}_i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2-V({\overline{r}}_1,...,{\overline{r}}_N)$

Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:

$h^s:{\overline{r}}_i{\to }_{}{\overline{r}}_i+s{\overline{e}}_{x}i=1,..,N$

Der Parameter s ist dabei beliebig.

Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:

$\begin{array}{ll}& L(h^s({\overline{r}}_i),{\dot{\overline{r}}}_i)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{m}_i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2-V({\overline{r}}_1+s{\overline{e}}_x,...,{\overline{r}}_N+s{\overline{e}}_x)=L({\overline{r}}_i,{\dot{\overline{r}}}_i)Forderung!\\ & \frac{dL}{ds}=-\sum _{i=1}^N({\mathrm{\nabla }}_{ri}\cdot {\overline{e}}_x)V=-\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}V=0Forderung!\\ \end{array}$

Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben!

Für die Transformation gilt:

$h^s({\overline{r}}_i)={\overline{r}}_i+s{\overline{e}}_{x}i=1,..,N$

$h^{s=0}({\overline{r}}_i)={\overline{r}}_i$

(Identität)

$\frac{d}{ds}{h}^s({\overline{r}}_i)={\overline{e}}_x$

Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:

$I=\sum _{i=1}^N{\mathrm{\nabla }}_{\dot{r}i}L\frac{d{h}^s}{ds}=\sum _i{m}_i{\dot{\overline{r}}}_i\cdot {\overline{e}}_x=\sum _i{m}_i{\dot{x}}_i=P_x$

Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.

Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.

Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:

Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:

Nun gilt die Transformation:

${\overline{r}}_i={\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)=q_1{\overline{e}}_x+\mathrm{\Delta }{\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)$ mit $q_1{\overline{e}}_x$

als Schwerpunktskoordinate und

$\mathrm{\Delta }{\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)$

als Relativpositionen.

Es folgt:

$\frac{\partial }{\partial q_1}{\overline{r}}_i={\overline{e}}_x$

$\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}{\dot{\overline{r}}}_i=\frac{\partial }{\partial q_1}{\overline{r}}_i={\overline{e}}_x$ wegen ${\dot{\overline{r}}}_i=\sum _k^{}\frac{\partial }{\partial q_k}{\overline{r}}_i{\dot{q}}_k+\frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i$

Invarianz Erhaltungssatz

${\frac{\partial L}{\partial q_1}}_{}=0\iff \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=0$

 äquivalent zum Erhaltungssatz

$\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=const$

Allgemein heißt

$\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}=p_j$

der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.

Falls gilt dass

${\frac{\partial L}{\partial q_1}}_{}=0\iff \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=0$,

wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße .

Hier:

$\begin{array}{ll}& p_1=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}(T-V)=\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}\left(\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2\right)=\sum _i{m}_i{\dot{\overline{r}}}_i\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}{\dot{\overline{r}}}_i\\ & mit\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}{\dot{\overline{r}}}_i={\overline{e}}_x\\ & p_1=\sum _i{m}_i{\dot{\overline{r}}}_i{\overline{e}}_x=P_x\\ \end{array}$

At last! Somoene who understands! Thanks for posting!

BovdhS <a href="http://tnxeigjwwmpq.com/">tnxeigjwwmpq</a>