Räumliche Isotropie

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Räumliche Isotropie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen

Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel $\varphi =s$ um die z- Achse.

An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:

$h^s:{\overline{r}}_i=(x_i,y_i,z_i)\to {\overline{r}}_i\stackrel{´}{}=(x{\stackrel{´}{}}_i,y{\stackrel{´}{}}_i,z{\stackrel{´}{}}_i)$

Dabei gilt:

$\begin{array}{ll}& x_i\stackrel{´}{}=x_i\cos s+y_i\sin s\\ & y_i\stackrel{´}{}=y_i\cos s-x_i\sin s\\ & z_i\stackrel{´}{}=z_i\\ \end{array}$

Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:

Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln $\delta \varphi =\delta s$

$\left(\begin{array}{c}{x}_i\stackrel{´}{}\\ y_i\stackrel{´}{}\\ z_i\stackrel{´}{}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos s& \sin s& 0\\ -\sin s& \cos s& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\\ \end{array}\right)\approx [\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& s& 0\\ -s& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right)]\left(\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\\ \end{array}\right)$

Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben

$\left(\begin{array}{ccc}0& s& 0\\ -s& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right)=-s{\overline{\overline{J}}}_z$

Mit ${\overline{\overline{J}}}_z$ als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.

Somit folgt:

$\left(\begin{array}{c}{x}_i\stackrel{´}{}\\ y_i\stackrel{´}{}\\ z_i\stackrel{´}{}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\\ \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}{y}_i\\ -x_i\\ 0\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\\ \end{array}\right)+s({\overline{r}}_i\times {\overline{e}}_z)$

Formal schreibt man:

${\overline{r}}_i\stackrel{´}{}=h^s({\overline{r}}_i)|{s=0}_{}+s{(\frac{d}{ds}{h}^s({\overline{r}}_i))}_{s=0}+O(s^2)$

mit ${(\frac{d}{ds}{h}^s({\overline{r}}_i))}_{s=0}={\overline{r}}_i\times {\overline{e}}_z$

Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion

$T=\frac{1}{2}\sum _i{m}_i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2$ ist rotationsinvariant, da nur von $\left|{\dot{\overline{r}}}_i\right|$ abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.

( Drehungen sind orthogonale Transformationen).

${\left(\frac{\partial L}{\partial s}\right)}_{s=0}=-{\left(\frac{\partial V}{\partial s}\right)}_{s=0}=-\sum _{i=1}^N\left({\mathrm{\nabla }}_{ri\stackrel{´}{}}V\right){\left(\frac{d{\overline{r}}_i\stackrel{´}{}}{ds}\right)}_{s=0}=\sum _{i=1}^N{\overline{F}}_i({\overline{r}}_i\times {\overline{e}}_z)$

wegen:

$\begin{array}{ll}& \left({\mathrm{\nabla }}_{ri\stackrel{´}{}}V\right)=-{\overline{F}}_i\\ & {\left(\frac{d{\overline{r}}_i\stackrel{´}{}}{ds}\right)}_{s=0}={\left(\frac{d{h}^s}{ds}\right)}_{s=0}\\ \end{array}$

Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:

${\left(\frac{\partial L}{\partial s}\right)}_{s=0}=-{\left(\frac{\partial V}{\partial s}\right)}_{s=0}={\overline{e}}_z\cdot \sum _i({\overline{F}}_i\times {\overline{r}}_i)=-{\overline{e}}_z\cdot \sum _i({\overline{r}}_i\times {\overline{F}}_i)$

Mit $\sum _i({\overline{r}}_i\times {\overline{F}}_i)$ als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:

$-{\overline{e}}_z\cdot \sum _i({\overline{r}}_i\times {\overline{F}}_i)={\left(\frac{\partial L}{\partial s}\right)}_{s=0}=-{\left(\frac{\partial V}{\partial s}\right)}_{s=0}=0$

Interpretation nach dem Noetherschen Theorem

$I(\overline{r},\dot{\overline{r}})=\sum _{i=1}^N\frac{\partial L}{\partial {\dot{\overline{r}}}_i}\cdot {\left(\frac{d{h}^s}{ds}\right)}_{s=0}=\sum _i{m}_i{\dot{\overline{r}}}_i\cdot ({\overline{r}}_i\times {\overline{e}}_z)=-{\overline{e}}_z\sum _i({\overline{r}}_i\times m_i{\dot{\overline{r}}}_i)=-{\overline{e}}_z\overline{l}=-l_z$

Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung

Andere Betrachtungsweise

Wähle $q_1=\varphi =s$ als verallgemeinerte Koordinate

Trafo: ${\overline{r}}_i={\overline{r}}_i(\varphi ,q_2,...,q_f,t)$

mit $\frac{\partial }{\partial q_1}{\overline{r}}_i={(\frac{d}{ds}{h}^s({\overline{r}}_i))}_{s=0}={\overline{r}}_i\times {\overline{e}}_z$

Für infinitesimale Drehung um z-Achse.

Invarianz Erhaltungssätze

${\frac{\partial L}{\partial q_1}}_{}=0\iff \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=0$

 äquivalent zum Erhaltungssatz

$p_1=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=const$

Der Winkel ist also eine zyklische Variable.

Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu $q_1=\varphi =s$ , so ergibt sich:

$p_1=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=\frac{1}{2}\sum _i{m}_i\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}{{\dot{\overline{r}}}_i}^2=\sum _i{m}_i{\dot{\overline{r}}}_i\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}{\dot{\overline{r}}}_i=\sum _i{m}_i{\dot{\overline{r}}}_i({\overline{r}}_i\times {\overline{e}}_z)=-{\overline{e}}_z\sum _i({\overline{r}}_i\times m_i{\dot{\overline{r}}}_i)=-l_z$

wegen

$\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}{\dot{\overline{r}}}_i=\frac{\partial }{\partial q_1}{\overline{r}}_{i}da{}_{}{\dot{\overline{r}}}_i=\sum _k\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_k}{\dot{q}}_k+\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial t}$

Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.

Nebenbedingung:

Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit $\tilde{\varphi }=-\varphi$ .

Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz

Beispiel:

N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:

$V({\overline{r}}_1,...,{\overline{r}}_N)=V(r_{12},...,r_{ij},...)$ mit $r_{ij}=|{\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j|$

Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:

$\frac{\partial V(r_{12},...,r_{ij},...)}{\partial \varphi }=\sum _{i,j}\frac{\partial V}{\partial r_{ij}}\cdot \frac{\partial }{\partial \varphi }{r}_{ij}=0$ für beliebige Achsen, da

$\begin{array}{ll}& \frac{\partial }{\partial \varphi }{r}_{ij}=\frac{\partial }{\partial \varphi }{\left[({\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j)({\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j)\right]}^{1/2}=\frac{1}{r_{ij}}({\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j)\frac{\partial }{\partial \varphi }({\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j)=\frac{{\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j}{r_{ij}}(\frac{\partial }{\partial \varphi }{\overline{r}}_i-\frac{\partial }{\partial \varphi }{\overline{r}}_j)\\ & \frac{\partial }{\partial \varphi }{\overline{r}}_i={\overline{r}}_i\times {\overline{e}}_k\\ & \Rightarrow \frac{{\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j}{r_{ij}}(\frac{\partial }{\partial \varphi }{\overline{r}}_i-\frac{\partial }{\partial \varphi }{\overline{r}}_j)=\frac{{\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j}{r_{ij}}[({\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j)\times {\overline{e}}_k]=\frac{1}{r_{ij}}{\overline{e}}_k[({\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j)\times ({\overline{r}}_i-{\overline{r}}_j)]=0\\ \end{array}$

Also ist der resultierende Drehimpuls $\overline{l}$ eine Erhaltungsgröße

Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse

Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:

${\overline{r}}_i\stackrel{´}{}=h^s({\overline{r}}_i)=(\overline{\overline{1}}-s{\overline{\overline{J}}}_z){\overline{r}}_i$

Mit der Erzeugenden ${\overline{\overline{J}}}_z=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right)$

Bei einer Drehung um den endlichen Winkel $\varphi$ gilt:

${\overline{r}}_i\stackrel{´}{}={\overline{\overline{R}}}_z(\varphi ){\overline{r}}_i=\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right){\overline{r}}_i$

Es gilt:

${\overline{\overline{R}}}_z(\varphi )=\exp (-{\overline{\overline{J}}}_z\varphi )$

mit Definition

$\exp (-{\overline{\overline{J}}}_z\varphi ):=\overline{\overline{1}}+(-{\overline{\overline{J}}}_z\varphi )+\frac{1}{2}{(-{\overline{\overline{J}}}_z\varphi )}^2+...+\frac{1}{k!}{(-{\overline{\overline{J}}}_z\varphi )}^k$

Beweis:

Für

$\begin{array}{ll}& \overline{\overline{M}}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)\Rightarrow {\overline{\overline{M}}}^2=-\overline{\overline{1}},{\overline{\overline{M}}}^3=-\overline{\overline{M}},{\overline{\overline{M}}}^4=\overline{\overline{1}}\\ & {\overline{\overline{M}}}^{2n}={(-1)}^n\overline{\overline{1}}\\ & {\overline{\overline{M}}}^{(2n+1)}={(-1)}^n\overline{\overline{M}}\\ \end{array}$

Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:

$\begin{array}{ll}& \left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \\ \end{array}\right)=\overline{\overline{1}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{\left(2n\right)!}{\varphi }^{2n}-\overline{\overline{M}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{(2n+1)!}{\varphi }^{2n+1}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\left(2n\right)!}{\overline{\overline{M}}}^{2n}{\varphi }^{2n}-\overline{\overline{M}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}{\overline{\overline{M}}}^{2n+1}{\varphi }^{2n+1}\\ & =\exp (-\overline{\overline{M}}\varphi )\\ \end{array}$

Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse

Erzeugende:

${\overline{\overline{J}}}_x=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ \end{array}\right)$

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

${\overline{\overline{R}}}_x(\varphi )=\exp (-{\overline{\overline{J}}}_x\varphi )$

Bei der y- Achse gilt:

Erzeugende:

${\overline{\overline{J}}}_y=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\\ \end{array}\right)$

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

${\overline{\overline{R}}}_y(\varphi )=\exp (-{\overline{\overline{J}}}_y\varphi )$

Beliebige Drehungen um den Winkel $\varphi$ mit der Drehachse $\overline{n}$

${\overline{\overline{R}}}_{}(\overline{\varphi })=\exp (-\varphi \sum _{i=1}^3{n}_i{\overline{\overline{J}}}_i)$

mit $\overline{\varphi }:=\varphi \overline{n}$

Die Drehmatrizen ${\overline{\overline{R}}}_{}(\overline{\varphi })=\exp (-\varphi \sum _{i=1}^3{n}_i{\overline{\overline{J}}}_i)$ bilden nun eine 3- parametrige $({\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3)$ , stetige, diffbare $\left(in\varphi \right)$

und orthogonale Gruppe.

Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen

SO(3)

$SO\left(3\right)=\{\overline{\overline{R}}:R^3\to R^{3}linear|{\overline{\overline{R}}}^t\overline{\overline{R}}=1|\det \overline{\overline{R}}=1\}$

Mit ${\overline{\overline{R}}}^t\overline{\overline{R}}=1$ als Orthogonalitätsbedingung, so dass $\left|\overline{r}\stackrel{´}{}\right|=\left|\overline{r}\right|$

und

$\det \overline{\overline{R}}=1$ zum Ausschluß von Raumspiegelungen.

Die Erzeugenden ${\overline{\overline{J}}}_i$ der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):

$[{\overline{\overline{J}}}_i,{\overline{\overline{J}}}_k]={\overline{\overline{J}}}_i{\overline{\overline{J}}}_k-{\overline{\overline{J}}}_k{\overline{\overline{J}}}_i$ i,k=x,y,z

Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab !:

$\begin{array}{ll}& [{\overline{\overline{J}}}_x,{\overline{\overline{J}}}_y]={\overline{\overline{J}}}_z\\ & [{\overline{\overline{J}}}_z,{\overline{\overline{J}}}_x]={\overline{\overline{J}}}_y\\ & [{\overline{\overline{J}}}_y,{\overline{\overline{J}}}_z]={\overline{\overline{J}}}_x\\ \end{array}$

-> zyklische Permutation des Lieschen Produktes