Das Zweikörperproblem

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Das Zweikörperproblem basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.

Idee:

f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

• 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
• Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:

$I_r(q_1,...,q_f,{\dot{q}}_1,...{\dot{q}}_f)=c_{r}r=1,...2f$

So wäre das Problem vollständig gelöst:

$q_k=q_k(c_1,...,c_{2f},t)k=1,...,f$

Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.

Beispiel: Zweikörperproblem

2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).

Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung

Zahl der Freiheitsgrade: f=6

Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren

Erhaltungssätze

1. V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.

Somit ist der Impuls:

$\overline{P}={\overline{p}}_1+{\overline{p}}_2$

=konstant

Der Schwerpunkt:

$\overline{R}=\frac{1}{M}\overline{P}t+{\overline{R}}_0$

bewegt sich gleichförmig und geradlinig.

Dies folgt aus:

$M\dot{\overline{R}}=\overline{P}=const$

M:=m1 + m2

Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:

$\overline{P},\overline{R}$

1. V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:

Damit ist der Drehimpuls

$\overline{l}=m_1{\overline{r}}_1\times {\overline{v}}_1+m_2{\overline{r}}_2\times {\overline{v}}_2=const$

Es sind drei weitere Integrationskonstanten

$\overline{l}$

gefunden.

1. Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:

$E=\frac{1}{2}{m}_1{{\overline{v}}_1}^2+\frac{1}{2}{m}_2{{\overline{v}}_2}^2+V\left(|{\overline{r}}_1-{\overline{r}}_2|\right)=const$

Eine Integrationskonstante E

Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.

Impuls- und Drehimpulserhaltung

Lagrange- Formulierung:

$L=T-V=\frac{1}{2}{m}_1{{\overline{v}}_1}^2+\frac{1}{2}{m}_2{{\overline{v}}_2}^2-V\left(|{\overline{r}}_1-{\overline{r}}_2|\right)$

Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten:

$\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\\ \end{array}\right):=\overline{R}=\frac{1}{M}(m_1{\overline{r}}_1+m_2{\overline{r}}_2)$ Schwerpunktskoordinate $\left(\begin{array}{c}{q}_4\\ q_5\\ q_6\\ \end{array}\right):=\overline{r}={\overline{r}}_1-{\overline{r}}_2$

Relativkoordinate

Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen:

$\begin{array}{ll}& {\overline{r}}_1=\overline{R}+\frac{m_2}{M}{\overline{r}}_{}{\overline{r}}_2=\overline{R}-\frac{m_1}{M}\overline{r}\\ & {\dot{\overline{r}}}_1=\dot{\overline{R}}+\frac{m_2}{M}{\dot{\overline{r}}}_{}{\dot{\overline{r}}}_2=\dot{\overline{R}}-\frac{m_1}{M}{\dot{\overline{r}}}_{}\\ & L=\frac{M}{2}{\dot{\overline{R}}}^2+\frac{1}{2}m{\dot{\overline{r}}}^2-V(r)\\ \end{array}$

Dabei bezeichnet

$r:=\left|\overline{r}\right|$

den Abstand und

$m=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$

die relative Masse

$L=\frac{M}{2}{\dot{\overline{R}}}^2+\frac{1}{2}m{\dot{\overline{r}}}^2-V(r)$

$\overline{R}$

ist zyklische Koordinate:

$\frac{\partial L}{\partial R_k}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {\dot{R}}_k}=M{\dot{R}}_k=P_k=const$

mit k= x,y,z

$\Rightarrow \overline{R}=\frac{1}{M}\overline{P}t+{\overline{R}}_0$

Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem:

o.B.d.A:

$\overline{R}=\dot{\overline{R}}=0$

Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung

$L=\frac{1}{2}m{\dot{\overline{r}}}^2-V(r)$

mit:

$\begin{array}{ll}& {\overline{r}}_1=+\frac{m_2}{M}{\overline{r}}_{}{\overline{r}}_2=-\frac{m_1}{M}\overline{r}\\ & {\dot{\overline{r}}}_1=+\frac{m_2}{M}{\dot{\overline{r}}}_{}{\dot{\overline{r}}}_2=-\frac{m_1}{M}{\dot{\overline{r}}}_{}\\ \end{array}$

Der Drehimpuls berechnet sich gemäß:

$\overline{l}=m_1{\overline{r}}_1\times {\overline{v}}_1+m_2{\overline{r}}_2\times {\overline{v}}_2=(\frac{m_1{m_2}^2}{M^2}+\frac{m_2{m_1}^2}{M^2})\overline{r}\times \dot{\overline{r}}=m\overline{r}\times \dot{\overline{r}}=const$

(Rotationsinvarianz)

Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit):

$\overline{l}\cdot \overline{r}=\overline{l}\cdot \dot{\overline{r}}=0$

Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor

$\overline{r},\dot{\overline{r}}$

liegen in der Ebene senkrecht zu

$\overline{l}$

(Im Schwerpunktsystem).

Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:

$\begin{array}{ll}& x=r\cos \varphi \dot{x}=\dot{r}\cos \varphi -r\dot{\varphi }\sin \varphi \\ & y=r\sin \varphi \dot{y}=\dot{r}\sin \varphi +r\dot{\varphi }\cos \varphi \\ \end{array}$

Somit:

${\dot{\overline{r}}}^2={\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2=...={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2$

Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y :

$(r,\varphi )$

$L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2)-V(r)$

$\varphi$

ist zyklische Koordinate:

$\frac{\partial L}{\partial \varphi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=m{r}^2\dot{\varphi }=l=const$

Hier: l = lz, da lx = ly =0

Also:

$m{r}^2\dot{\varphi }=l_z=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const$

Flächensatz: 2. keplersches Gesetz

Geometrische Interpretation von

$m{r}^2\dot{\varphi }=l_z=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const$

Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant:

Für die Fläche gilt:

$\delta F=\frac{1}{2}\left|\overline{r}\right|\cdot |\overline{r}+\delta \overline{r}|\sin \delta \varphi \approx \frac{1}{2}{r}^2\delta \varphi$

Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung:

$\frac{d}{dt}F=\frac{1}{2}{r}^2\frac{d\varphi }{dt}=\frac{l}{2m}=const$

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