Theorem von Noether

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Theorem von Noether basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=1}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__

Voraussetzung: Autonomes, das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer Lagrangefunktion

$L(q_1,...,{\dot{q}}_1,...,t)$

Theorem ( E.Noether, 1882-1935)

Die Lagrangefunktion $L(q_1,...,{\dot{q}}_1,...,t)$ eines autonomen Systems sei unter der Transformation

$\overline{q}\to h^s(\overline{q})$ invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und $h^{s=0}(\overline{q})=\overline{q}$ die Identität.

Dann gibt es ein Integral der Bewegung

$I(\overline{q},\dot{\overline{q}})=\sum _{i=1}^f\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{(\frac{d}{ds}{h}^s(q_i))}_{s=0}$

Beweis:

Sei $\overline{q}=\overline{q}(t)$ eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch $\overline{q}(s,t):=h^s(\overline{q},t)$ Lösung, das heißt:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\overline{q}(s,t),\dot{\overline{q}}(s,t))}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial L(\overline{q}(s,t),\dot{\overline{q}}(s,t))}{\partial q_i}$

Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:

$\begin{array}{ll}& \frac{d}{ds}L(\overline{q}(s,t),\dot{\overline{q}}(s,t))=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial L}{\partial q_i}\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\left(\frac{d{\dot{q}}_i}{ds}\right)}_{})=0\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\overline{q},\dot{\overline{q}})=\sum _{i=1}^f\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{(\frac{d}{ds}{h}^s(q_i))}_{s=0}\right)=\sum _{i=1}^f(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\frac{d}{dt}{\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)}_{})\\ \end{array}$

Mit

$\begin{array}{ll}& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}\\ & \frac{d}{dt}\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)=\left(\frac{d{\dot{q}}_i}{ds}\right)\\ \end{array}$

und mit Hilfe von

$\frac{d}{ds}L(\overline{q}(s,t),\dot{\overline{q}}(s,t))=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial L}{\partial q_i}\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\left(\frac{d{\dot{q}}_i}{ds}\right)}_{})=0$

folgt dann:

$\frac{d}{dt}I(\overline{q},\dot{\overline{q}})=\frac{d}{ds}L=0$