Forminvarianz der Lagrangegleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Forminvarianz der Lagrangegleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.

Dabei gilt als Forminvarianz:

$\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial Q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_k}=0$

Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten

$F:\left\{q_k\right\}\to \left\{Q_k\right\}$

sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?

Satz:

Sei $F:\left\{q_k\right\}\to \left\{Q_k\right\}$ ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind

$F,F^{-1}$ beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist

$\{Q_k(t)\}$ Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:

$\tilde{L}(Q_k,{\dot{Q}}_k,t):=L(f_k(Q_i,t),\sum _i\frac{\partial f_k}{\partial Q_i}{\dot{Q}}_i+\frac{\partial f_k}{\partial t},t)$

mit

$\begin{array}{ll}& f_k(Q_i,t)=q_k\\ & \sum _i\frac{\partial f_k}{\partial Q_i}{\dot{Q}}_i+\frac{\partial f_k}{\partial t}={\dot{q}}_k\\ \end{array}$

Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:

$\{q_k(t)\}$ sind Lösung der Lagrangegleichungen zu $L(q_k,{\dot{q}}_k,t)$

Beweis:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {\dot{Q}}_k}=\sum _{l=1}^f\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\frac{\partial {\dot{q}}_l}{\partial {\dot{Q}}_k}=\sum _{l=1}^f\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}\right)$ wegen

$\begin{array}{ll}& f_k(Q_i,t)=q_k\\ & \sum _i\frac{\partial f_k}{\partial Q_i}{\dot{Q}}_i+\frac{\partial f_k}{\partial t}={\dot{q}}_k\\ \end{array}$

Nun:

$\begin{array}{ll}& \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {\dot{Q}}_k}=\sum _{l=1}^f\{\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\right)\right]\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}\right)\}\\ & =\sum _{l=1}^f\{\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\right)\right]\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\left(\frac{\partial {\dot{q}}_l}{\partial Q_k}\right)\}\\ \end{array}$

und auf der anderen Seite:

$\frac{\partial \tilde{L}}{\partial Q_k}=\sum _{l=1}^f(\frac{\partial L}{\partial q_l}\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\left(\frac{\partial {\dot{q}}_l}{\partial Q_k}\right))$

Somit:

$\begin{array}{ll}& \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {\dot{Q}}_k}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial Q_k}=\sum _{l=1}^f\{\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\right)\right]\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\left(\frac{\partial {\dot{q}}_l}{\partial Q_k}\right)-(\frac{\partial L}{\partial q_l}\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\left(\frac{\partial {\dot{q}}_l}{\partial Q_k}\right))\}\\ & =\sum _{l=1}^f\{\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\right)\right]\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}-\left(\frac{\partial L}{\partial q_l}\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}\right)\}=\sum _{l=1}^f\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}\{\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_l}\right)\right]-\left(\frac{\partial L}{\partial q_l}\right)\}\\ \end{array}$

Dabei bildet

$\frac{\partial q_l}{\partial Q_k}$ die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also $\det \frac{\partial q_l}{\partial Q_k}\ne 0$

Daher die Bedingung, dass

Sei $F:\left\{q_k\right\}\to \left\{Q_k\right\}$ ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und

$F,F^{-1}$ beide zweimal stetig differenzierbar.

Nur dann ist $\{Q_k(t)\}$ Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.

Denn diese Aussage ist äquivalent zu

$\begin{array}{ll}& Q_i=F_i(q_1,...q_f,t)\\ & q_k=f_k(Q_1,...,Q_f,t)mit\det \frac{\partial f_k}{\partial Q_i}\ne 0\\ \end{array}$

Man sagt, die Variationsableitung

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {\dot{Q}}_k}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial Q_k}$ ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten

Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.