Variationsprinzipien

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Variationsprinzipien basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Idee

Die bisher betrachteten Variationen waren differenziell. Derart wurden sie beim d´Alembertschen Prinzip angewendet. (Differenzielle Variation:

$\delta {\overrightarrow{r}}_i$

Beim Hamiltonschen Prinzip dagegen wird die gesamte Bahn variiert:

${\overrightarrow{r}}_i(t)$

Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige, gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird.

Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten $t_1$ und $t_2$ werden festgehalten.

Grundidee des Hamiltonschen Prinzips ist, dass die wirklich angenommene Bahn eine bestimmte Größe, nämlich die sogenannte Wirkung der Bahn, extremal macht.

Fermatsches Prinzip Dieses Phänomen ist bei der Lichtausbreitung als Fermatsches Prinzip bekannt. In der geometrischen Optik gibt es die Moeglichkeit, einen Lichtweg zu finden, indem das Fermatsche Prinzip berücksichtigt wird. Demnach sucht sich Licht immer den kürzesten W4eg in einer Anordnung von Spiegeln und brechenden Gläsern mit Brechungsindex n(r) Vorsicht! Das Licht sucht sich demnach den kürzesten Optischen Weg, also den Weg, der in der kürzesten Dauer zurückgelegt werden kann (Das Licht bewegt sich entlang der lichtartigen Geodäten). Sei der Brechungsindex $n(\overrightarrow{r})=\frac{c}{c_0}$ So gilt: $\delta \underset{1}{\overset{2}{\int }}dsn(\overrightarrow{r})=0$ als Bedingung an den tatsächlich zwischen 1 und 2 angenommenen Weg.

Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig (die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.

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Exkurs zur Variationsrechnung

1. Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen

$\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)=\frac{d}{dx}f(x)\delta x=0$

für beliebige Variationen

$\delta x\ne 0$

$\frac{d}{dx}f(x)=0$

an x=x0 (Nullstelle)

1. Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen

$\delta f=f(x1+\delta x1,\mathrm{...})-f(x1,\mathrm{...})=\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}f(x)\delta x_i=0$

für beliebige

$\delta x_i\ne 0$

$\frac{\partial f}{\partial x_i}=0$

i=1...,N bei xi =xi0 (Nullstellen der Funktion)

entsprechend:

3. Extremum eines Funktionals

f[x]=f[x(t)]

$\begin{array}{cc}& x_1,\mathrm{...},x_N->x(t)\\ & \delta x_1,\mathrm{...},\delta x_N->\delta x(t)\\ & \delta f=\sum _{i=1}^N\frac{\partial f}{\partial x_i}\delta x_i->\delta f=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)\\ \end{array}$ Mit $\frac{\delta f}{\delta x(t)}$

als Funktionalableitung

Beispiel : Integral als Funktional

Sei

$f[x]:=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtF(x(t))$

$\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t))\}$

$=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)\to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}$ wegen $\delta f=\sum _{i=1}^N\frac{\partial f}{\partial x_i}\delta x_i->\delta f=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)$

$\delta f=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)=0f\ddot{u}rbeliebige\delta x(t)(Extremum)$

Somit folgt jedoch wegen der Beliebigkeit der variierten x:

$\frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}=0$

als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t)

Bei Abhängigkeit von

$x,\dot{x}$

$f[x,\dot{x}]=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtF(x(t),\dot{x}(t))$

$\delta f=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\delta F(x,\dot{x})=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\frac{\partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x}\}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\}\delta x(t)$

Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen

$\delta x(t)$.

Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):

$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0$

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