Das Wasserstoffatom (relativistsich)

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Das Wasserstoffatom (relativistsich) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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In einem rotationssymmetrischen Potenzial haben wir als Dirac- Hamiltonian:

$\begin{array}{rl}& H=(c\overline{\alpha }\overline{p}+m_0{c}^2\beta +V(r))\\ & p_r:=\frac{1}{r}(\overline{r}\overline{p}-i\hslash )\\ & {\alpha }_r:=\frac{1}{r}\overline{\alpha }\overline{r}\\ & \hslash Q:=\beta (\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}+\hslash )\\ \end{array}$

Dabei sind $p_r,{\alpha }_r,\hslash Q$

hermitesche Operatoren

Man kann den Hamilton- Operator schreiben als:

$H=(c{\alpha }_r{p}_r+\frac{ic}{r}{\alpha }_r\beta \hslash Q+m_0{c}^2\beta +V(r))$

Beweis:

$\begin{array}{rl}& {\alpha }_r{p}_r+\frac{i}{r}{\alpha }_r\beta \hslash Q={\alpha }_r[\frac{1}{r}(\overline{r}\overline{p}-i\hslash )+\frac{i}{r}{\beta }^2(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}+\hslash )]\\ & {\beta }^2=1\\ & =\frac{{\alpha }_r}{r}(\overline{r}\overline{p}+i\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L})=\frac{1}{r^2}[\left(\overline{\alpha }\overline{r}\right)\left(\overline{r}\overline{p}\right)+i\left(\overline{\alpha }\overline{r}\right)\left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)]\\ & i\left(\overline{\alpha }\overline{r}\right)\left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)=i\left(\overline{\alpha }\overline{r}\right)\left(\overline{r}\overline{p}\right)-i{r}^2\left(\overline{\alpha }\overline{p}\right)\\ & \Rightarrow {\alpha }_r{p}_r+\frac{i}{r}{\alpha }_r\beta \hslash Q=\frac{1}{r^2}[\left(\overline{\alpha }\overline{r}\right)\left(\overline{r}\overline{p}\right)+i\left(\overline{\alpha }\overline{r}\right)\left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)]=\overline{\alpha }\overline{p}\\ \end{array}$

Es gilt weiter:

$[\hslash Q,H]=0$

. Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu $H$

und $\hslash Q$

Eigenwerte von $\hslash Q$

$\begin{array}{rl}& {\left(\hslash Q\right)}^2=\beta (\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}+\hslash )\beta (\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}+\hslash )={\beta }^2{(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}+\hslash )}^2\\ & [\beta ,\tilde{\overline{\sigma }}]=0=\left(\begin{array}{cc}[1,\tilde{\overline{\sigma }}]& \\ & -[1,\tilde{\overline{\sigma }}]\\ \end{array}\right)\\ & {\beta }^2=1\\ & \Rightarrow {\left(\hslash Q\right)}^2=\left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)\left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)+2\hslash \left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)+{\hslash }^2\\ & \left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)\left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)=L^2+i\tilde{\overline{\sigma }}(\overline{L}\times \overline{L})\\ & (\overline{L}\times \overline{L})=i\hslash \overline{L}\\ & \Rightarrow \left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)\left(\tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}\right)=L^2-\hslash \tilde{\overline{\sigma }}(\overline{L})\\ \end{array}$

Somit:

$\begin{array}{rl}& {\left(\hslash Q\right)}^2=L^2+\hslash \tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}+{\hslash }^2={(\overline{L}+\frac{\hslash }{2}\tilde{\overline{\sigma }})}^2+\frac{{\hslash }^2}{4}\\ & mit{(\overline{L}+\frac{\hslash }{2}\tilde{\overline{\sigma }})}^2=L^2+\hslash \tilde{\overline{\sigma }}\overline{L}+\frac{{\hslash }^2}{4}{\tilde{\overline{\sigma }}}^2\\ & {\tilde{\overline{\sigma }}}^2=3\\ & (\overline{L}+\frac{\hslash }{2}\tilde{\overline{\sigma }})=\overline{J}\\ \end{array}$

Schließlich also

${\left(\hslash Q\right)}^2={\overline{J}}^2+\frac{{\hslash }^2}{4}$

Die Eigenwerte von ${\overline{J}}^2$

sind jedoch bekannt, nämlich $\hslash j(j+1)$

mit $j=l\pm s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...$

$\begin{array}{rl}& {\left(\hslash Q\right)}^2|j⟩=({\hslash }^{2}j(j+1)+\frac{{\hslash }^2}{4})|j⟩={\hslash }^2{(j+\frac{1}{2})}^2|j⟩\\ & {(j+\frac{1}{2})}^2:=q^2\\ \end{array}$

Somit:

$\begin{array}{rl}& \left(\hslash Q\right)|j⟩=\left(\hslash q\right)|j⟩\\ & q=\pm 1,\pm 2,...\\ \end{array}$

Es bleibt das radiale Eigenwertproblem für

$H=(c{\alpha }_r{p}_r+\frac{ic}{r}{\alpha }_r\beta \hslash Q+m_0{c}^2\beta +V(r))$

Geeignete Darstellung für ${\alpha }_r$

$\begin{array}{rl}& {\left({\alpha }_r\right)}^2=\frac{1}{r^2}\left(\overline{\alpha }\overline{r}\right)\left(\overline{\alpha }\overline{r}\right)=\frac{1}{r^2}{\alpha }^{\mu }{\alpha }^{\nu }{x}^{\mu }{x}^{\nu }=\frac{1}{2r^2}({\alpha }^{\mu }{\alpha }^{\nu }+{\alpha }^{\nu }{\alpha }^{\mu })x^{\mu }{x}^{\nu }\\ & ({\alpha }^{\mu }{\alpha }^{\nu }+{\alpha }^{\nu }{\alpha }^{\mu })=2{\delta }^{\mu \nu }\\ & \frac{1}{2r^2}2x^{\mu }{x}^{\mu }=\frac{r^2}{r^2}=1\\ & {\alpha }_r\beta +\beta {\alpha }_r=\frac{1}{r}(\overline{\alpha }\beta +\beta \overline{\alpha })\overline{r}\\ & (\overline{\alpha }\beta +\beta \overline{\alpha })=0\Rightarrow \frac{1}{r}(\overline{\alpha }\beta +\beta \overline{\alpha })\overline{r}=0\\ \end{array}$

Für

$\beta =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)$

kann dies durch die Darstellung ${\alpha }_r=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\\ \end{array}\right)$

mit ${\alpha }_r={{\alpha }_r}^{+}$

erfüllt werden:

$\begin{array}{rl}& {\alpha }_r\beta =\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\\ \end{array}\right)\\ & \beta {\alpha }_r=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Es gilt:

$\begin{array}{rl}& p_r=\frac{1}{r}(\overline{r}\overline{p}-i\hslash )\\ & \overline{r}\overline{p}=\frac{\hslash }{i}r\frac{\partial }{\partial r}\\ & p_r=\frac{1}{r}(\frac{\hslash }{i}r\frac{\partial }{\partial r}-i\hslash )=-i\hslash (\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r})\\ \end{array}$

Also

$H=\hslash c\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)(\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r})-\frac{c\hslash q}{r}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)+m_0{c}^2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)+V\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)$

Ansatz für den Radialanteil

$\left(\begin{array}{c}{\varphi }_a\\ {\varphi }_b\\ \end{array}\right)\stackrel{~}{}\frac{1}{r}\left(\begin{array}{c}F(r)\\ G(r)\\ \end{array}\right)$

Eingesetzt in die Eigenwertgleichung für H:

$\left(\begin{array}{c}{\varphi }_a\\ {\varphi }_b\\ \end{array}\right)\stackrel{~}{}\frac{1}{r}\left(\begin{array}{c}F(r)\\ G(r)\\ \end{array}\right)$

folgt:

$\begin{array}{rl}& -\frac{\hslash c}{r}\frac{dG}{dr}-\frac{c\hslash q}{r^2}G+\frac{m_0{c}^2}{r}F+\frac{V}{r}F=E\frac{F}{r}\\ & \frac{\hslash c}{r}\frac{dF}{dr}-\frac{c\hslash q}{r^2}F-\frac{m_0{c}^2}{r}G+\frac{V}{r}G=E\frac{G}{r}\\ & V=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r}\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{rl}& (E-m_0{c}^2-V)F+\hslash c\frac{dG}{dr}+\frac{c\hslash q}{r}G=0\\ & (E+m_0{c}^2-V)G-\hslash c\frac{dF}{dr}+\frac{c\hslash q}{r}F=0\\ & V=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r}\\ \end{array}$

Skalentransformation:

$\begin{array}{rl}& a_1=\frac{m_0{c}^2+E}{\hslash c}\\ & a_2=\frac{m_0{c}^2-E}{\hslash c}\\ & a=\sqrt{a_1{a}_2}=\frac{\sqrt{{m_0}^2{c}^4-E^2}}{\hslash c}\\ \end{array}$

Führt man des weiteren ein:

$\begin{array}{rl}& \rho :=ar\\ & \gamma :=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}\approx \frac{1}{137}\\ \end{array}$

Also einen skalierten Radius und die Feinstrukturkonstante,

wodurch sich auch das Potenzial vereinfacht zu:

$\frac{V}{\hslash ca}=-\frac{\gamma }{\rho }$

$\begin{array}{rl}& (\frac{d}{d\rho }+\frac{q}{\rho })G-(\frac{a_2}{a}-\frac{\gamma }{\rho })F=0\\ & (\frac{d}{d\rho }-\frac{q}{\rho })F-(\frac{a_1}{a}+\frac{\gamma }{\rho })G=0\\ \end{array}$

Randbedingung:

$F(\rho ),G(\rho )$

regulär bei $\rho \to 0$

$F(\rho ),G(\rho )\to 0$

für $\rho \to \mathrm{\infty }$

Betrachte $\begin{array}{rl}& \left|E\right|<m_0{c}^2\Rightarrow a_1,a_2>0\\ & a\in R\\ \end{array}$

also gebundene Zustände

Asymptotisches Verhalten:

$\begin{array}{rl}& \rho \to \mathrm{\infty }\\ & \Rightarrow G\stackrel{´}{}=\frac{a_2}{a}FF\stackrel{´}{}=\frac{a_1}{a}G\\ & \Rightarrow G\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=G,F\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=F\\ & \Rightarrow G=e^{-\rho }=F=G=e^{-\rho }\\ \end{array}$

Weil $e^{+\rho }$

divergiert !

$\begin{array}{rl}& \rho \to 0\\ & \Rightarrow G\stackrel{´}{}+\frac{q}{\rho }G+\frac{\gamma }{\rho }F=0\\ & F\stackrel{´}{}-\frac{q}{\rho }F-\frac{\gamma }{\rho }G=0\\ \end{array}$

Ansatz:

$\begin{array}{rl}& F(\rho )=f_0{\rho }^{\lambda }\\ & G(\rho )=g_0{\rho }^{\lambda }\\ & \Rightarrow (\lambda +q)g_0+\gamma f_0=0\\ & (\lambda -q)f_0-\gamma g_0=0\\ \end{array}$

Es existieren nichttriviale Lösungen $f_0,g_0$

, falls $(\lambda +q)(\lambda -q)+{\gamma }^2={\lambda }^2-q^2+{\gamma }^2=0$

Also $\lambda =\pm \sqrt{q^2-{\gamma }^2}>0$

und regulär bei $\rho \to 0$

Ansatz:

$\begin{array}{rl}& F(\rho )={\rho }^{\lambda }{e}^{-\rho }f\left(\rho \right)\\ & G(\rho )={\rho }^{\lambda }{e}^{-\rho }g\left(\rho \right)\\ & \Rightarrow g\stackrel{´}{}-g+\frac{\lambda +q}{\rho }g-(\frac{a_2}{a}-\frac{\gamma }{\rho })f=0\\ & f\stackrel{´}{}-f+\frac{\lambda -q}{\rho }f-(\frac{a_1}{a}+\frac{\gamma }{\rho })g=0\\ \end{array}$

Die Lösung erfolgt über einen Potenzreihenansatz:

$\begin{array}{rl}& f(\rho )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k{\rho }^k\Rightarrow f\stackrel{´}{}(\rho )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{f}_k{\rho }^{k-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+1)f_{k+1}{\rho }^k\\ & g(\rho )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_k{\rho }^k\Rightarrow g\stackrel{´}{}(\rho )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{g}_k{\rho }^{k-1}\\ & \frac{f(\rho )}{\rho }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k{\rho }^{k-1}=\frac{f_0}{\rho }+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_{k+1}{\rho }^k\\ \end{array}$

usw... wird dies ebenfalls für $g\stackrel{´}{}(\rho ),\frac{g(\rho )}{\rho }$

aufgestellt

Koeffizientenvergleich liefert:

$\begin{array}{rl}& O\left(\frac{1}{\rho }\right):(\lambda +q)g_0+\gamma f_0=0(\lambda -q)f_0-\gamma g_0=0\\ & \Rightarrow f_0,g_0\\ \end{array}$

bis auf Normfaktor

$\begin{array}{rl}& O\left({\rho }^k\right):(\lambda +q+k+1)g_{k+1}-g_k+\gamma f_{k+1}-\frac{a_2}{a}{f}_k=0\\ & (\lambda -q+k+1)f_{k+1}-f_k+\gamma g_{k+1}-\frac{a_1}{a}{g}_k=0\\ \end{array}$

k=0,1,2,.... Rekursionsformel !!

$\begin{array}{rl}& a[(\lambda +q+k+1)g_{k+1}-g_k+\gamma f_{k+1}-\frac{a_2}{a}{f}_k]-a_2[(\lambda -q+k+1)f_{k+1}-f_k+\gamma g_{k+1}-\frac{a_1}{a}{g}_k]=0\\ & \Rightarrow [a(\lambda +q+k+1)+a_2\gamma ]g_{k+1}=[a_2(\lambda -q+k+1)-a\gamma ]f_{k+1}\\ \end{array}$

Verhalten für große k:

$ak{g}_{k+1}\approx a_{2}k{f}_{k+1}\Rightarrow f_k\approx \frac{a}{a_2}{g}_k$

Dies kann man einsetzen in

$(\lambda +q+k+1)g_{k+1}-g_k+\gamma f_{k+1}-\frac{a_2}{a}{f}_k=0$

und es folgt:

$\begin{array}{rl}& (k+1)g_{k+1}\approx 2g_k\\ & \Rightarrow \frac{g_{k+1}}{g_k}\approx \frac{2}{k+1}\Rightarrow g_{k+1}\approx \frac{2^{k+1}}{(k+1)!}{g}_0\\ & \Rightarrow g(\rho )\stackrel{~}{}{e}^{2\rho }\\ & \Rightarrow f(\rho )\stackrel{~}{}{e}^{2\rho }\\ \end{array}$

Falls die Potenzreihen

$f(\rho )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k{\rho }^k,g(\rho )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_k{\rho }^k$

nicht abbrechen, so divergiert $\begin{array}{rl}& F(\rho )={\rho }^{\lambda }{e}^{-\rho }f\left(\rho \right)\\ & G(\rho )={\rho }^{\lambda }{e}^{-\rho }g\left(\rho \right)\\ \end{array}$

exponentiell für $\rho \to \mathrm{\infty }\Rightarrow F(\rho ),G(\rho )\stackrel{~}{}{e}^{\rho }$

Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen !

Also muss es einen Abbruch bei $k=n\stackrel{´}{}\in N$

geben:

$f_{n\stackrel{´}{}+1}=g_{n\stackrel{´}{}+1}=0$

Setzt man dies in die Rekursionsformel ein, so folgt:

$\begin{array}{rl}& -g_{n\stackrel{´}{}}-\frac{a_2}{a}{f}_{n\stackrel{´}{}}=0\Rightarrow a_2{f}_{n\stackrel{´}{}}=-a{g}_{n\stackrel{´}{}}\\ & -f_{n\stackrel{´}{}}-\frac{a_1}{a}{g}_{n\stackrel{´}{}}=0\Rightarrow a{f}_{n\stackrel{´}{}}=-a_1{g}_{n\stackrel{´}{}}\\ \end{array}$

Diese beiden Gleichungen stimmen jedoch für alle f,g überein, da

$\frac{a_2}{a}=\frac{a}{a_1}$

Setzt man $a_2{f}_{n\stackrel{´}{}}=-a{g}_{n\stackrel{´}{}}$

in $[a(\lambda +q+k+1)+a_2\gamma ]g_{k+1}=[a_2(\lambda -q+k+1)-a\gamma ]f_{k+1}$

ein, so folgt mit $k+1=n\stackrel{´}{}$

$\begin{array}{rl}& \frac{a(\lambda +q+n\stackrel{´}{})+a_2\gamma }{a}=-\frac{[a_2(\lambda -q+n\stackrel{´}{})-a\gamma ]}{a_2}\\ & \lambda +q+n\stackrel{´}{}+\frac{a_2}{a}\gamma +\lambda -q+n\stackrel{´}{}+\frac{a}{a_2}\gamma =0\\ & 2a(\lambda +n\stackrel{´}{})=(\frac{a^2}{a_2}-a_2)\gamma =\frac{2E}{\hslash c}\gamma \\ & \frac{a^2}{a_2}=a_1\\ & a^2{(\lambda +n\stackrel{´}{})}^2=\frac{E^2}{{\hslash }^2{c}^2}{\gamma }^2\\ \end{array}$

Weiter gilt:

$\begin{array}{rl}& a^2=\frac{{m_0}^2{c}^4-E^2}{{\hslash }^2{c}^2}\\ & \Rightarrow ({m_0}^2{c}^4-E^2){(\lambda +n\stackrel{´}{})}^2=E^2{\gamma }^2\\ \end{array}$

Löst man dies nach den exakten Energieeigenwerten, die sich damit ergeben, also nach E auf, so erhält man die Feinstrukturformel:

$E=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1+{\left(\frac{\gamma }{\lambda +n\stackrel{´}{}}\right)}^2}}$

Mit der Feinstrukturkonstanten

$\gamma \approx \frac{1}{137}$

$\begin{array}{rl}& \lambda =\sqrt{q}\\ & a^2=\frac{{m_0}^2{c}^4-E^2}{{\hslash }^2{c}^2}\\ & \Rightarrow ({m_0}^2{c}^4-E^2){(\lambda +n\stackrel{´}{})}^2=E^2{\gamma }^2\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \lambda =\sqrt{q^2-{\gamma }^2}=\sqrt{{(j+\frac{1}{2})}^2-{\gamma }^2}\\ & j=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...,n\stackrel{´}{}\in N_0\\ & j=l\pm s\\ \end{array}$

entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis $O\left({\gamma }^4\right)$

, so folgt:

$E=m_0{c}^2[1-\frac{1}{2}{\left(\frac{\gamma }{\lambda +n\stackrel{´}{}}\right)}^2+\frac{3}{8}{\left(\frac{\gamma }{\lambda +n\stackrel{´}{}}\right)}^4+O\left({\gamma }^6\right)]$

mit

$\lambda \left(\gamma \right)=\left|q\right|\sqrt{1-{\left(\frac{\gamma }{q}\right)}^2}=\left|q\right|[1-\frac{1}{2}{\left(\frac{\gamma }{q}\right)}^2]+O\left({\gamma }^4\right)$

$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{1}{\lambda +n\stackrel{´}{}}\right)}^2=\frac{1}{{[n\stackrel{´}{}+|q|-\frac{1}{2}\left(\frac{{\gamma }^2}{\left|q\right|}\right)]}^2}+O\left({\gamma }^4\right)\\ & n=n\stackrel{´}{}+\left|q\right|\\ & n\stackrel{´}{}=0,1,2,...\\ & \left|q\right|=j+\frac{1}{2}=1,2,....\\ & {\left(\frac{1}{\lambda +n\stackrel{´}{}}\right)}^2=\frac{1}{n^2}{[1-\frac{1}{2}\left(\frac{{\gamma }^2}{\left|q\right|n}\right)]}^{-2}+O\left({\gamma }^4\right)=\frac{1}{n^2}[1+\left(\frac{{\gamma }^2}{\left|q\right|n}\right)]+O\left({\gamma }^4\right)=\frac{1}{n^2}+\left(\frac{{\gamma }^2}{\left|q\right|n^3}\right)+O\left({\gamma }^4\right)\\ & \left|q\right|=j+\frac{1}{2}=l\pm s+\frac{1}{2}\\ \end{array}$

Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein , so folgt:

$\begin{array}{rl}& E=m_0{c}^2[1-\left(\frac{{\gamma }^2}{2n^2}\right)-\left(\frac{{\gamma }^4}{2n^3}\right)(\frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n})+O\left({\gamma }^6\right)]\\ & n=1,2,3\\ & j=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...,n-\frac{1}{2},wegenn=n\stackrel{´}{}+j+\frac{1}{2}\\ & j=l\pm s\\ \end{array}$

Diskussion

$O\left({\gamma }^0\right):E=m_0{c}^2$

Ruheenergie

$O\left({\gamma }^2\right):\mathrm{\Delta }{E}^{(2)}=-m_0{c}^2\left(\frac{{\gamma }^2}{2n^2}\right)=-\frac{R_H}{n^2}$

nicht relativistisches, entartetes Energiespektrum

$O\left({\gamma }^4\right):\mathrm{\Delta }{E}^{(4)}=-m_0{c}^2\left(\frac{{\gamma }^4}{2n^3}\right)(\frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n})$

Feinstruktur- Aufspaltung. Eine Aufhebung der j-Entartung durch Spin- Bahn- Kopplung. Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die $2(2j+1)$ - fache $m_j$ - Entartung+ Parität !

Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: $n{l}_j$

$n=1:j=\frac{1}{2}:1s_{\frac{1}{2}}$

$\begin{array}{ll}& n=2:j=\frac{1}{2}:2s_{\frac{1}{2}}2p_{\frac{1}{2}}n\stackrel{\stackrel{´}{}}{}=1\\ & j=\frac{3}{2}:2p_{\frac{3}{2}}n\stackrel{\stackrel{´}{}}{}=0\\ \end{array}$

n´=0 ..