Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=6|Abschnitt=2}}
Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Voraussetzung
hinreichend rasch!
Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden.
das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben.
Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r→ unendlich der Integrand nur mit
bei.
r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die Fernfeldlösungen{{#set:Fachbegriff=Fernfeldlösungen|Index=Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !
Wir können also
für r>> r´ entwickeln:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|={\sqrt {{\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}^{2}}}={\sqrt {\left({{\bar {r}}^{2}}-2{\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}+{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}}=r{\sqrt {\left(1-2{\frac {{\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{r}^{2}}}+{{\left({\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\right)}^{2}}\right)}}\approx r{\sqrt {\left(1-2{\frac {{\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{r}^{2}}}\right)\approx }}r-{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}\\&{{\bar {e}}_{r}}={\frac {\bar {r}}{r}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2631079ee42db66b940747c130b75918ae288b44)
Somit
![{\displaystyle {{\hat {G}}_{+}}({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\cong -{\frac {{e}^{ik\left(r-{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}\right)}}{4\pi r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85bc9821816457eefd49e088e55561dddba049f)
Dabei bezeichnet
die Streuphase{{#set:Fachbegriff=Streuphase|Index=Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert !
ist die Streuamplitude{{#set:Fachbegriff=Streuamplitude|Index=Streuamplitude}}, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !
Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!
![{\displaystyle {{\hat {G}}_{+}}({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\cong -{\frac {{e}^{ikr}}{4\pi r}}{{e}^{-ik{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24a873c7b03e0c64e726bee3fc14bd045dc75ad)
Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen !
Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben
werden:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \\r->\infty \\\end{matrix}}{{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}-{\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}{\frac {{e}^{ikr}}{4\pi r}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{e}^{-ik{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}}}V({\bar {r}}{\acute {\ }}){{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfbb82aff9be52a1bc6781b894f8312ab94dcb2)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \\r->\infty \\\end{matrix}}{{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}+f({{\bar {e}}_{r}}){\frac {{e}^{ikr}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba3e0fcb5288a74db02cdbec57ec2216de912c7)
Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung !
Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude
![{\displaystyle f({{\bar {e}}_{r}})=-{\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{e}^{-ik{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}}}V({\bar {r}}{\acute {\ }}){{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3844138922b8831d0a5a2a85e7046173d0d46ca)
Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung
abhängt:
Die Streuung ist elastisch !
Wirkungsquerschnitt
Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum.
Dabei ist definiert:
![{\displaystyle {\frac {Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}}={\frac {\sigma }{Strahlfl{\ddot {a}}che}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ed7024e4b2e1064431c9bebf28e81050496350)
Strahlfläche{{#set:Fachbegriff=Strahlfläche|Index=Strahlfläche}}:= Fläche, auf die der Strahl trifft
: streuende Fläche
Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:
Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt)
![{\displaystyle \sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36)
![{\displaystyle \sigma :={\frac {Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}}={\frac {Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}}c{{m}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ca408610a41b5c6ef5b18ac78956bf068845b1)
Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten
![{\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{\bar {e}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}}={\frac {Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{\bar {e}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}}c{{m}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172aa57dfa18d08fd3c4eeccc158134233a41f56)
![{\displaystyle d\sigma ={\frac {{{\left({{\bar {j}}_{s}}\right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left|{{\bar {j}}_{e}}\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd05fa9503c38c55b90f0becb523c00ff0f8c17)
![{\displaystyle d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcebe0b9fab0a05af2108f107f474ac1bbfa35a8)
Zur einlaufenden Welle:
![{\displaystyle {{\Psi }_{e}}({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307e23e36e641dda3863cafc55cbbb4a69272604)
gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:
![{\displaystyle {{\bar {j}}_{e}}={\frac {\hbar }{2im}}\left({{\Psi }_{e}}*\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}*\right)={\frac {\hbar {\bar {k}}}{m}}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*={\frac {\hbar {\bar {k}}}{m}}{{\left|\Psi \right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d74c22735b14dd6c18c62dad4e088f8a210dc46)
Zur Streuwelle in Richtung
also:
gehört die Radialkomponente der Stromdichte:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left({{\bar {j}}_{s}}\right)}_{r}}={\frac {\hbar }{2im}}\left({{\Psi }_{S}}*{\frac {\partial }{\partial r}}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}{\frac {\partial }{\partial r}}{{\Psi }_{S}}*\right)={\frac {\hbar }{2im}}{{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}\left({\frac {{e}^{-ikr}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {{e}^{ikr}}{r}}-{\frac {{e}^{ikr}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {{e}^{-ikr}}{r}}\right)\\&\Rightarrow {{\left({{\bar {j}}_{s}}\right)}_{r}}={\frac {\hbar }{2im}}{{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}\left({\frac {{e}^{-ikr}}{r}}\left({\frac {ik}{r}}-{\frac {1}{{r}^{2}}}\right){{e}^{ikr}}-{\frac {{e}^{ikr}}{r}}\left(-{\frac {ik}{r}}-{\frac {1}{{r}^{2}}}\right){{e}^{-ikr}}\right)={\frac {\hbar {\bar {k}}}{m{{r}^{2}}}}{{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9a0a489d2b2415af5414eb1e3015f6babc4132)
Somit ergibt sich die einfache Form des differenziellen Wirkungsquerschnitts{{#set:Fachbegriff=differenziellen Wirkungsquerschnitts|Index=differenziellen Wirkungsquerschnitts}}:
![{\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e61e3d0bf93b59397372dc43471f1b11052c96)
Und der totale Wirkungsquerschnitt{{#set:Fachbegriff=totale Wirkungsquerschnitt|Index=totale Wirkungsquerschnitt}} folgt zu
![{\displaystyle {{\sigma }_{tot.}}=\int _{}^{}{d\Omega }{{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b25d8da87f08a03bf4a72e1a472b6dd5153e82)
Mit der Streuamplitude{{#set:Fachbegriff=Streuamplitude|Index=Streuamplitude}}
![{\displaystyle f({{\bar {e}}_{r}})=-{\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{e}^{-ik{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}}}V({\bar {r}}{\acute {\ }}){{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3844138922b8831d0a5a2a85e7046173d0d46ca)