Lippmann- Schwinger- Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Lippmann- Schwinger- Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Man betrachte Teilchen, die in Wechselwirkung stehen, jedoch keine gebundenen Zustände miteinander einnehmen:

Der Hamiltonoperator kann geschrieben werden als:

$\hat{H}={\hat{H}}^{(0)}+{\hat{H}}^{(1)}$

Dabei bezeichne

${\hat{H}}^{(0)}$

die kinetische Energie

und

${\hat{H}}^{(1)}$

die Wechselwirkungsenergie.

Im Falle stationärer Streuung erhalten wir:

$\hat{H}|\mathrm{\Psi }⟩=E|\mathrm{\Psi }⟩$

. $|\mathrm{\Psi }⟩$

beschreibt ein am Anfang einlaufendes Teilchen ( ohne Wechselwirkung), die anschließende Streuung und schließlich wieder auseinanderlaufende Teilchen:

Stationär bedeutet hier: Das Gleichgewicht hat sich bereits eingeregelt. Der Prozess ist zeitlich stationär, weil jede Veränderung an einem Teilchenzustand 1 durch ein nachrückendes Teilchen, dessen Zustand sich in den des ersten ( Zustand 1) begibt, aufgefüllt wird.

Die Schrödingergleichung lautet:

$(E-{\hat{H}}_0)|\mathrm{\Psi }⟩={\hat{H}}^{(1)}|\mathrm{\Psi }⟩$

Erster Schritt bei derartigen Problemen: Isolation der Störung !

Die formale Lösung kann angegeben werden mittels:

$\begin{array}{ll}& |\mathrm{\Psi }⟩=|\mathrm{\Phi }⟩+\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0)}{\hat{H}}^{(1)}|\mathrm{\Psi }⟩\\ & \frac{1}{(E-{\hat{H}}_0)}:={(E-{\hat{H}}_0)}^{-1}\\ \end{array}$

Die Division zwischen 1 und dem Operator der linken Seite ist dabei als Ausführung der inversen Operation zu verstehen !

$|\mathrm{\Phi }⟩$

ist eine beliebige Lösung der wechselwirkungsfreien Gleichung

$({\hat{H}}_0-E)|\mathrm{\Phi }⟩=0$

Beweis:

$\begin{array}{ll}& (E-{\hat{H}}_0)|\mathrm{\Psi }⟩=(E-{\hat{H}}_0)|\mathrm{\Phi }⟩+(E-{\hat{H}}_0)\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0)}{\hat{H}}^{(1)}|\mathrm{\Psi }⟩\\ & (E-{\hat{H}}_0)\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0)}:=1\\ & \Rightarrow (E-{\hat{H}}_0)|\mathrm{\Psi }⟩={\hat{H}}^{(1)}|\mathrm{\Psi }⟩\iff (E-{\hat{H}}_0)|\mathrm{\Phi }⟩=0\\ \end{array}$

Die Gleichung $|\mathrm{\Psi }⟩=|\mathrm{\Phi }⟩+\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0)}{\hat{H}}^{(1)}|\mathrm{\Psi }⟩$

ist dabei eine Integralgleichung, beispielsweise in der Ortsdarstellung:

$⟨\overline{r}||\mathrm{\Psi }⟩=⟨\overline{r}||\mathrm{\Phi }⟩+\underset{}{\overset{}{\int }}\underset{}{\overset{}{\int }}⟨\overline{r}|\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0)}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|{\hat{H}}^{(1)}|\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}⟩⟨\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}||\mathrm{\Psi }⟩d^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}$

Berechnung des inversen Operators $\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0)}$

Hier: Greenscher Operator, sogenannte RESOLVENTE

(auch: Residuum !) der Schrödingergleichung.

Methode: Transformation auf Impulsdarstellung ( Fourier- Transformation) und komplexe Integration.

Aber: die Lösung ist nicht eindeutig, je nach Wahl des Integrationsweges ergeben sich unterschiedliche Egebnisse ( Integrationsweg in der komplexen Ebene). Dementsprechend ergeben sich verschiedene Randbedingungen

Die Festlegung erfolgt durch Addition eines kleinen komplexen Terms $i\epsilon$

. Am Schluss kann man dann $\epsilon \to 0$

gehen lassen.

Damit ergibt sich als LIPPMANN- Schwinger- Gleichung

$|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩=|\mathrm{\Phi }⟩+\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}{\hat{H}}^{(1)}|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩$

Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit !

Mit auslaufender Welle $|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩$

Streuwelle $\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}{\hat{H}}^{(1)}|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩$

und einlaufender Welle $|\mathrm{\Phi }⟩$

( Lösung des ungestörten Problems)

Die auslaufende Welle $|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩$

ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle !

Greensche Funktion des freien Teilchens

( = Ortsdartellung des Greenschen Operators)

$G_{+}(\overline{r},\overline{r}\stackrel{´}{}):=\frac{\hslash }{2m}⟨\overline{r}|\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩$

Dabei werden zwei " Einsen" eingeschoben und wir gewinnen:

$G_{+}(\overline{r},\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{\hslash }{2m}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\stackrel{´}{}⟨\overline{r}||\overline{q}⟩⟨\overline{q}|\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}|\overline{q}\stackrel{´}{}⟩⟨\overline{q}\stackrel{´}{}||\overline{r}\stackrel{´}{}⟩$

Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst . Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex.

Dann isoliert man den Greenschen Operator und führt mit diesem eine Fouriertransormation durch !

Der obige Einschub einer Basis ist noch KEINE Fouriertransformation. Wir befinden uns dann immer noch im Ortstraum !

Dabei bezeichnen $\overline{q},\overline{q}\stackrel{´}{}$

die Wellenvektoren mit der entsprechenden Impulsdarstellung $\hslash \overline{q}$

.

Für ein freies Teilchen, für das der Hamiltonian direkt angegeben werden kann: ${\hat{H}}_0=\frac{{\hat{\overline{p}}}^2}{2m}$

gilt:

$⟨\overline{q}|{\hat{H}}_0|\overline{q}\stackrel{´}{}⟩=\frac{{\hslash }^2{\overline{q}}^2}{2m}\delta (\overline{q}-\overline{q}\stackrel{´}{})$

Somit also

$⟨\overline{q}|\frac{1}{E-{\hat{H}}_0+i\epsilon }|\overline{q}\stackrel{´}{}⟩=\frac{\delta (\overline{q}-\overline{q}\stackrel{´}{})}{E-\frac{{\hslash }^2{\overline{q}}^2}{2m}+i\epsilon }$

Asymptotisch gelte für das einlaufende Teilchen als Anfangsbedingung sozusagen

$\overline{p}=\hslash \overline{k}\Rightarrow E=\frac{{\hslash }^2{\overline{k}}^2}{2m}$

$\begin{array}{ll}& \Rightarrow ⟨\overline{q}|\frac{1}{E-{\hat{H}}_0+i\epsilon }|\overline{q}\stackrel{´}{}⟩=\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{\delta (\overline{q}-\overline{q}\stackrel{´}{})}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }=:\frac{2m}{{\hslash }^2}{\tilde{G}}_{+}(\overline{q})\delta (\overline{q}-\overline{q}\stackrel{´}{})\\ & \eta =\frac{2m}{{\hslash }^2}\epsilon \\ & ⟨\overline{r}||\overline{q}⟩=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{\frac{3}{2}}}{e}^{i\overline{q}\overline{r}}\\ \end{array}$

Damit folgt dann als angekündigte Fouriertrafo:

$\begin{array}{ll}& G_{+}(\overline{r},\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q{\tilde{G}}_{+}(\overline{q})e^{i\overline{q}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})}\\ & {\tilde{G}}_{+}(\overline{q})=\frac{1}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }\\ \end{array}$

Also: Wir führen die Fouriertransformation durch und gewinnen als Fouriertransformierte

${\tilde{G}}_{+}(\overline{q})=\frac{1}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }$

Die Rücktransformation liefert die gesuchte Greensfunktion $G_{+}(\overline{r},\overline{r}\stackrel{´}{})$

, die mittels Residuensatz aus der bekannten ${\tilde{G}}_{+}(\overline{q})=\frac{1}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }$

durch Fouriertrafo gewonnen werden kann !

$G_{+}(\overline{r},\overline{r}\stackrel{´}{})$

hängt also nur von $(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

ab !

Berechnung von $G_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}):=G_{+}(\overline{R})$

in Polarkoordinaten $\overline{q}$

erfolgt mittels Residuensatz

$G_{+}(\overline{R})=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\frac{1}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }{e}^{i\overline{q}\overline{R}}$

Dabei lege man

$\overline{R}=\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}$

entlang der z- Achse, so dass zwischen $\overline{R}$

und $\overline{q}$

gerade der Winkel $\vartheta$

liegt:

$\begin{array}{ll}& G_{+}(\overline{R})=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dq\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d\cos \vartheta \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \frac{q^2}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }{e}^{iqR\cos \vartheta }\\ & G_{+}(\overline{R})=\frac{1}{4{\pi }^{2}iqR}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dq{q}^2\frac{e^{iqR}-e^{-iqR}}{q({\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta )}\\ \end{array}$

Dies kann man leicht weiter zusammenfassen, indem im zweiten Term einfach q durch -q ersetzt wird:

$G_{+}(\overline{R})=\frac{1}{4{\pi }^{2}iR}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dqq\frac{e^{iqR}}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }$

Die Integration erfolgt mittels Residuensatz in der komplexen q- Ebene:

Dazu ist es nötig, die komplexe Zahl q in Polarkoordinaten umzuschreiben:

$\begin{array}{ll}& q=\rho \cdot e^{i\mathrm{\Phi }}\\ & 0\le \mathrm{\Phi }\le \pi \\ & dq=\rho \cdot e^{i\mathrm{\Phi }}id\mathrm{\Phi }\\ \end{array}$

Skizzenhaft:

Da die Integration im Unendlichen ( Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden:

Die Pole des Integranden:

$\begin{array}{ll}& \frac{1}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }\\ & q_{1/2}=\pm \sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }\approx (k+\frac{i\eta }{2k})\\ \end{array}$

Genau genommen muss noch gezeigt werden, dass das Integral über den Kreisbogen für Radius gegen Unendlich verschwindet:

$\begin{array}{c}\lim \\ \rho \to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\underset{}{\oint }dqq\frac{e^{iqR}}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dqq\frac{e^{iqR}}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }+\begin{array}{c}\lim \\ \rho \to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\mathrm{\Phi }i{e}^{2i\mathrm{\Phi }}\frac{{\rho }^2{e}^{i\rho R\cos \mathrm{\Phi }}{e^{-}}^{\rho R\sin \mathrm{\Phi }}}{{\overline{k}}^2-{\rho }^2{e}^{2i\mathrm{\Phi }}+i\eta }$

Aber:

$\begin{array}{ll}& \begin{array}{c}\lim \\ \rho \to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\mathrm{\Phi }i{e}^{2i\mathrm{\Phi }}\frac{{\rho }^2{e}^{i\rho R\cos \mathrm{\Phi }}{e^{-}}^{\rho R\sin \mathrm{\Phi }}}{{\overline{k}}^2-{\rho }^2{e}^{2i\mathrm{\Phi }}+i\eta }=0\\ & da\\ & \begin{array}{c}\lim \\ \rho \to \mathrm{\infty }\\ \end{array}{e^{-}}^{\rho R\sin \mathrm{\Phi }}=0\\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ \rho \to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\underset{}{\oint }dqq\frac{e^{iqR}}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dqq\frac{e^{iqR}}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }\\ \end{array}$

Mittels Residuensatz ergibt sich dann

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dqq\frac{e^{iqR}}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }=2\pi i{\left(RES\left(\frac{q{e}^{iqR}}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }\right)\right)|}_{q=q_1}$

Dies ist der Beitrag vom oberen Integrationsweg, weshalb das Residuum an q=q1 ausgewertet werden muss. Ebenso hätte man den unteren Integrationsweg nehmen können. Dann wäre das Residuum eben an q=q2 auszuwerten gewesen. Da wir die Polstellen des Arguments des Residuums gefunden haben können wir umschreiben: $\begin{array}{ll}& RES{\frac{q{e}^{iqR}}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }|}_{q=q_1}=RES{\frac{q{e}^{iqR}}{(\sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }-q)(\sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }+q)}|}_{q_1\equiv \sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }}\\ & \sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }=q_1=-q_2\\ & RES{\frac{q{e}^{iqR}}{(\sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }-q)(\sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }+q)}|}_{q_1\equiv \sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }}=\begin{array}{c}\lim \\ q->q1\\ \end{array}\frac{(q-q_1)q{e}^{iqR}}{(q_1-q)(q-q_2)}=\frac{q_1{e}^{i{q}_{1}R}}{(q_1-q_2)}\\ & =-\frac{e^{i\sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }R}}{2}\\ & \begin{array}{c}\lim \\ \eta \to 0\\ \end{array}-\frac{e^{i\sqrt{{\overline{k}}^2+i\eta }R}}{2}=-\frac{e^{ikR}}{2}\\ \end{array}$

Also hat man ein Ergebnis für $G_{+}(\overline{R})=\frac{1}{4{\pi }^{2}iR}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dqq\frac{e^{iqR}}{{\overline{k}}^2-{\overline{q}}^2+i\eta }$ , man erhält $G_{+}(\overline{R})=\frac{1}{4{\pi }^{2}iR}2\pi iRES{|}_{q_1}=\frac{-e^{ikR}}{4\pi R}$

Wesentlich: $G_{+}(\overline{R})=G_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$ erfüllt die Differenzialgleichung für die Greensche Funktion: $(\mathrm{\Delta }+k^2)G_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

Denn: $\begin{array}{ll}& \delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=⟨\overline{r}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩=G_{+}(\overline{r},\overline{r}\stackrel{´}{})=⟨\overline{r}|(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩\\ & \cong ⟨\overline{r}|(\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}-\frac{{\hat{p}}^2}{2m})\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩=\frac{{\hslash }^2}{2m}(k^2+\mathrm{\Delta })⟨\overline{r}|\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩\\ \end{array}$

Ortsdarstellung der Lippmann- Schwinger- Gleichung

$\begin{array}{ll}& ⟨\overline{r}||{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩=⟨\overline{r}||\mathrm{\Phi }⟩+\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}⟨\overline{r}|\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|{\hat{H}}^1|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩\\ & =⟨\overline{r}||\mathrm{\Phi }⟩+\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{G}_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|{\hat{H}}^1|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩=e^{i\overline{k}\overline{r}}+\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{-e^{ik\left|(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\right|}}{4\pi \left|(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\right|}⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|{\hat{H}}^1|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩\\ \end{array}$

Mit der durchlaufenden freien Welle $⟨\overline{r}||\mathrm{\Phi }⟩$ =$e^{i\overline{k}\overline{r}}$

und der Streuwelle $\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{G}_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|{\hat{H}}^1|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩=+\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{-e^{ik\left|(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\right|}}{4\pi \left|(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\right|}⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|{\hat{H}}^1|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩$

Zusammenfassung

Aus der Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung lautet: $(E-{\hat{H}}_0)|\mathrm{\Psi }⟩={\hat{H}}^{(1)}|\mathrm{\Psi }⟩$

Mit dem linearen Differentialoperator $(E-{\hat{H}}_0)|\mathrm{\Psi }⟩$ und der Inhomogenität ${\hat{H}}^{(1)}|\mathrm{\Psi }⟩$

kann man formal lösen:

$\begin{array}{ll}& |{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩=|\mathrm{\Phi }⟩+\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}{\hat{H}}^{(1)}|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩\\ & \frac{1}{(E-{\hat{H}}_0)}:={(E-{\hat{H}}_0)}^{-1}\\ \end{array}$

eine Form der Lippmann- Schwinger- Gleichung mit auslaufender Welle $|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩$ Greenschen Operator ( auch sogenannte RESOLVENTE)$\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}$ und durchlaufender Welle ( freie einlaufende Lösung) $|\mathrm{\Phi }⟩$

Die Berechnung der Greenschen Funktion des freien Teilchens:

Als Operator: ${\hat{G}}_{+}:=\frac{1}{(E-{\hat{H}}_0+i\epsilon )}$ erfüllt $(E-{\hat{H}}_0){\hat{G}}_{+}=1$

Übergang in die Impulsdarstellung: $⟨\overline{q}|{\hat{G}}_{+}|\overline{q}\stackrel{´}{}⟩=\frac{2m}{\hslash }{\hat{G}}_{+}(\overline{q})\delta (\overline{q}-\overline{q}\stackrel{´}{})$

Mit ${\hat{G}}_{+}(\overline{q}):=\frac{1}{k^2-q^2+i\eta }$

Mittels Fouriertrafo erfolgt der Übergang in die Ortsdarstellung:

${\hat{G}}_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}):=\frac{{\hslash }^2}{2m}⟨\overline{r}|{\hat{G}}_{+}(\overline{q})|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩=-\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

Dieser erfüllt dann eine Relation des Impulsoperators in Ortsdarstellung ( orts- Differeniationsrelation): $(\mathrm{\Delta }+k^2){\hat{G}}_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

( dies ist die skalare Helmholtzgleichung !)

Potenzialstreuungen

${\hat{H}}^{(1)}$ sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als STREUZENTRUM ( Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem

Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen

In Ortsdarstellung schreiben wir:

$\begin{array}{ll}& ⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|{\hat{H}}^{(1)}|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩=V(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\Psi }}^{(+)}(\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & \Rightarrow {\mathrm{\Psi }}^{(+)}(\overline{r})=e^{i\overline{k}\overline{r}}-\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{e^{i\overline{k}|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}V(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\Psi }}^{(+)}(\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Dies ist die Lippmann Schwingergleichung für eine Potenzialstreuung. Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen.

Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus UNENDLICH zu verstehen .