Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
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Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:
Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit
verhält.
und es gilt Coulomb- Eichung:
So wird:
Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt):
Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit):
Dipolnäherung:
Annahme: Die Wellenlänge ( einige tausend Angström) ist deutlich größer als der Atomdurchmesser ( einige Angström)
->
Außerdem:
und
= Operator des elektrischen Dipolmoments
Damit wird das Matrixelement des Störoperators
Mit den elektrischen Dipol- Matrixelementen
Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich gemäß
Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:
Dabei liefert
einen Beitrag für
( Absorption) und
einen Beitrag für
als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist
also proportional zur Energiedichte der elektromagnetischen Welle.
Die Ausführung der Integration liefert:
Bemerkungen
Spontane Emission kann in der semiklasischen Theorie ( Atom wird quantenmechanisch beschrieben, das Strahlfeld jedoch klassisch) nicht beschrieben werden ! Hierzu ist die Quantisierung des Strahlungsfeldes nötig (Quantenfeldtheorie).
Die Auswahlregeln für erlaubte elektrische Dipolübergänge sind durch das Dipolmatrixelement
gegeben. Für
können erlaubte Multipolübergänge ( magnetischer Dipol, elektrischer Quadrupol etc...) durch die Entwicklung von
in höherer Ordnung berechnet werden.
Diskussion der Dipolmatrixelemente:
Wir begeben uns wieder in den Ortsraum der Kugelkoordinatendarstellung:
Die ungestörte Wellenfunktion:
Kugelkoordinaten
betrachte
Einsetzen liefert:
Analog kann man ausrechnen:
Also gewinnen wir die Auswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge: