Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=2}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:

${\hat{H}}^0=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(r)$

Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit

$\overline{A}(\overline{r},t)={\overline{A}}_0\cos (\overline{k}\overline{r}-\omega t)$

verhält.

$\omega =c\left|\overline{k}\right|$

und es gilt Coulomb- Eichung:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0$

So wird:

$\begin{array}{cc}& \overline{E}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)=-\omega {\overline{A}}_0\sin (\overline{k}\overline{r}-\omega t)\\ & -\omega {\overline{A}}_0:={\overline{E}}_0\\ \end{array}$

$\overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\overline{k}\times {\overline{A}}_0\sin (\overline{k}\overline{r}-\omega t)$

Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt):

$\begin{array}{cc}& \hat{H}={\hat{H}}_0-\frac{e}{m}\overline{A}\cdot \hat{\overline{p}}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^1\\ & {\hat{H}}^1:=-\frac{e}{m}\cos (\overline{k}\overline{r}-\omega t){\overline{A}}_0\hat{\overline{p}}=-\frac{e}{2m}{e}^{i\overline{k}\overline{r}}{\overline{A}}_0\hat{\overline{p}}{e}^{-i\omega t}-\frac{e}{2m}{e}^{-i\overline{k}\overline{r}}{\overline{A}}_0\hat{\overline{p}}{e}^{i\omega t}\\ & -\frac{e}{2m}{e}^{i\overline{k}\overline{r}}{\overline{A}}_0\hat{\overline{p}}:=\hat{F}\\ & -\frac{e}{2m}{e}^{-i\overline{k}\overline{r}}{\overline{A}}_0\hat{\overline{p}}:={\hat{F}}^{+}\\ & {\hat{H}}^1=\hat{F}{e}^{-i\omega t}+{\hat{F}}^{+}{e}^{i\omega t}\\ \end{array}$

Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit):

$\begin{array}{cc}& W_{nn0}=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n|\hat{F}|n_0⟩\right|}^2\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )+\frac{2\pi }{\hslash }{\left|⟨n_0|{\hat{F}}^{+}|n⟩\right|}^2\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )\\ & W_{nn0}=\frac{2\pi }{\hslash }{\left(\frac{e}{2m}\right)}^2\{{\left|⟨n|e^{i\overline{k}\overline{r}}{\overline{A}}_0\hat{\overline{p}}|n_0⟩\right|}^2\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )+{\left|⟨n_0|e^{-i\overline{k}\overline{r}}{\overline{A}}_0\hat{\overline{p}}|n⟩\right|}^2\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )\}\\ \end{array}$

Dipolnäherung:

Annahme: Die Wellenlänge ( einige tausend Angström) ist deutlich größer als der Atomdurchmesser ( einige Angström)

->$\begin{array}{cc}& \overline{k}\overline{r}<<1\\ & e^{\mp i\overline{k}\overline{r}}=1+O(\overline{k}\overline{r})\\ \end{array}$

Außerdem: $[{\hat{H}}_0,\hat{\overline{r}}]=\frac{\hslash }{i}\frac{\hat{\overline{p}}}{m}$ und $e\hat{\overline{r}}$ = Operator des elektrischen Dipolmoments

Damit wird das Matrixelement des Störoperators

$\begin{array}{cc}& -\frac{e}{m}⟨n|e^{i\overline{k}\overline{r}}{\overline{A}}_0\hat{\overline{p}}|n_0⟩\cong -\frac{i}{\hslash }\frac{em}{2m}{\overline{A}}_0⟨n|{\hat{H}}_0\hat{\overline{r}}-\hat{\overline{r}}{\hat{H}}_0|n_0⟩=-\frac{i}{2\hslash }(E_n-E_{n0}){\overline{A}}_{0}e⟨n|\hat{\overline{r}}|n_0⟩\\ & {\overline{A}}_0=-\frac{{\overline{E}}_0}{\omega }\\ & e⟨n|\hat{\overline{r}}|n_0⟩:={\overline{d}}_{nn0}\\ \end{array}$

Mit den elektrischen Dipol- Matrixelementen$e⟨n|\hat{\overline{r}}|n_0⟩:={\overline{d}}_{nn0}$

Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich gemäß

$W_{nn0}=\frac{2\pi }{\hslash }\frac{{(E_n-E_{n0})}^2}{4{\left(\hslash \omega \right)}^2}{({\overline{E}}_0\cdot {\overline{d}}_{nn0})}^2\{\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )+\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )\}$

Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:

$\begin{array}{cc}& \overline{E}(\overline{r},t)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}d\omega {\overline{E}}_0(\omega )\sin (\overline{k}\overline{r}-\omega t)\\ & \Rightarrow W_{nn0}=\frac{\pi }{2{\hslash }^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}d\left(\hslash \omega \right){({\overline{E}}_0\left(\omega \right)\cdot {\overline{d}}_{nn0})}^2\{\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )+\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )\}\\ \end{array}$

Dabei liefert $\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )$ einen Beitrag für $E_n>E_{n0}$ ( Absorption) und $\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )$ einen Beitrag für $E_n<E_{n0}$ als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist $\stackrel{~}{}{\overline{E}}_0{\left(\omega \right)}^2$ also proportional zur Energiedichte der elektromagnetischen Welle.

Die Ausführung der Integration liefert: $\begin{array}{cc}& W_{nn0}=\frac{\pi }{2{\hslash }^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}d\left(\hslash \omega \right){({\overline{E}}_0\left(\omega \right)\cdot {\overline{d}}_{nn0})}^2\{\delta (E_n-E_{n0}-\hslash \omega )+\delta (E_n-E_{n0}+\hslash \omega )\}\\ & \Rightarrow W_{nn0}=\frac{\pi }{2{\hslash }^2}{({\overline{E}}_0\left(\frac{\left(|E_n-E_{n0}|\right)}{\hslash }\right)\cdot {\overline{d}}_{nn0})}^2\\ & {\overline{d}}_{nn0}=e⟨n|\hat{\overline{r}}|n_0⟩\\ \end{array}$

Bemerkungen

Spontane Emission kann in der semiklasischen Theorie ( Atom wird quantenmechanisch beschrieben, das Strahlfeld jedoch klassisch) nicht beschrieben werden ! Hierzu ist die Quantisierung des Strahlungsfeldes nötig (Quantenfeldtheorie). Die Auswahlregeln für erlaubte elektrische Dipolübergänge sind durch das Dipolmatrixelement ${\overline{d}}_{nn0}=e⟨n|\hat{\overline{r}}|n_0⟩$ gegeben. Für $e⟨n|\hat{\overline{r}}|n_0⟩=0$ können erlaubte Multipolübergänge ( magnetischer Dipol, elektrischer Quadrupol etc...) durch die Entwicklung von $e^{\pm i\overline{k}\overline{r}}$ in höherer Ordnung berechnet werden.

Diskussion der Dipolmatrixelemente:

Wir begeben uns wieder in den Ortsraum der Kugelkoordinatendarstellung:

Die ungestörte Wellenfunktion:

$\begin{array}{cc}& {\Psi }_{nlm}(\overline{r})=\frac{u_{nl}(r)}{r}{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )\stackrel{~}{}{P_l}^m(\cos \vartheta )e^{im\varphi }\\ & |n⟩=|n\stackrel{´}{}l\stackrel{´}{}m\stackrel{´}{}⟩\\ & |n_0⟩=|nlm⟩\\ \end{array}$

Kugelkoordinaten $\begin{array}{cc}& {\Psi }_{nlm}(\overline{r})=\frac{u_{nl}(r)}{r}{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )\stackrel{~}{}{P_l}^m(\cos \vartheta )e^{im\varphi }\\ & x_1=r\sin \vartheta \cos \varphi \\ & x_2=r\sin \vartheta \sin \varphi \\ & x_3=r\cos \vartheta \\ \end{array}$

betrachte

$\begin{array}{cc}& \xi =x_1+i{x}_2=r\sin \vartheta e^{i\varphi }\\ & \xi \ast =x_1-i{x}_2=r\sin \vartheta e^{-i\varphi }\\ \end{array}$

Einsetzen liefert:

$\begin{array}{cc}& {\Psi }_{nlm}(\overline{r})=\frac{u_{nl}(r)}{r}{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )\stackrel{~}{}{P_l}^m(\cos \vartheta )e^{im\varphi }\\ & ⟨n\stackrel{´}{}l\stackrel{´}{}m\stackrel{´}{}|\hat{\overline{\xi }}|nlm⟩\stackrel{~}{}{\int }_0^{\pi }d\vartheta {\sin }^2\left(\vartheta \right){P_{l\stackrel{´}{}}}^{m\stackrel{´}{}}(\cos \vartheta ){P_l}^m(\cos \vartheta ){\int }_0^{2\pi }d\varphi e^{i(m-m\stackrel{´}{}+1)\varphi }\\ & {\int }_0^{2\pi }d\varphi e^{i(m-m\stackrel{´}{}+1)\varphi }\stackrel{~}{}{\delta }_{m\stackrel{´}{},m+1}\\ & \Rightarrow ⟨n\stackrel{´}{}l\stackrel{´}{}m\stackrel{´}{}|\hat{\overline{\xi }}|nlm⟩\stackrel{~}{}{\int }_0^{\pi }d\vartheta {\sin }^2\left(\vartheta \right){P_{l\stackrel{´}{}}}^{m+1}(\cos \vartheta ){P_l}^m(\cos \vartheta )\\ & {\int }_0^{\pi }d\vartheta {\sin }^2\left(\vartheta \right){P_{l\stackrel{´}{}}}^{m+1}(\cos \vartheta ){P_l}^m(\cos \vartheta )\stackrel{~}{}{\delta }_{l\stackrel{´}{},l\pm 1}\\ & \Rightarrow ⟨n\stackrel{´}{}l\stackrel{´}{}m\stackrel{´}{}|\hat{\overline{\xi }}|nlm⟩\stackrel{~}{}{\delta }_{m\stackrel{´}{},m+1}{\delta }_{l\stackrel{´}{},l\pm 1}\\ \end{array}$

Analog kann man ausrechnen: $\begin{array}{cc}& ⟨n\stackrel{´}{}l\stackrel{´}{}m\stackrel{´}{}|\hat{\overline{\xi }}\ast |nlm⟩\stackrel{~}{}{\delta }_{m\stackrel{´}{},m-1}{\delta }_{l\stackrel{´}{},l\pm 1}\\ & ⟨n\stackrel{´}{}l\stackrel{´}{}m\stackrel{´}{}|{\hat{x}}_3|nlm⟩\stackrel{~}{}{\delta }_{m\stackrel{´}{}m}{\delta }_{l\stackrel{´}{},l\pm 1}\\ \end{array}$

Also gewinnen wir die Auswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge:

$\begin{array}{cc}& \Delta l=\pm 1\\ & \Delta m=0,\pm 1\\ \end{array}$