Zeitabhängige Störungsrechnung

From testwiki
Jump to navigation Jump to search


{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=1}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__


(Dirac)

Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes |Ψt aus der Schrödingergleichung

H^|Ψt=it|Ψt

berechnet werden, wobei

H^=H^0+H^1(t)

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters ε linear entwickelt werden kann:

H^1(t)=εV^

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Die Eigenzustände und Eigenwerte von H0 seien bekannt:

H^0|n=En|n (ungestörtes Problem)

Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:

n´||n=δn´nn|nn|=1

Annahme: diskretes Spektrum

Die Entwicklung von |Ψt nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

n|nn||Ψt=ncn(t)|nn||Ψt:=cn(t)

Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand |n0:

|Ψt=0=|n0

Damit:

n||n0:=cn(0)=δnn0

Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von

n|nn||Ψt=ncn(t)|nn||Ψt:=cn(t)

in die Schrödingergleichung:

H^|Ψt=it|Ψtncn(t)H^|n=inddtcn(t)|n=ncn(t)(H^0+H^1(t))|n=ncn(t)(En+H^1(t))|n

Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

inddtcn(t)m||n=ncn(t)m|(H^0+H^1(t))|n=ncn(t)m|(En+H^1(t))|n=ncn(t)(m|En|n+m|H^1(t)|n)=ncn(t)Enδmn+ncn(t)m|H^1(t)|ninddtcn(t)m||n=cm(t)Em+ncn(t)m|H^1(t)|n=iddtcm(t)

Hilfreich ist die Definition eines cn(t):=e(iEnt)gn(t) mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

e(iEnt)

Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !

Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

iddtcm(t)=cm(t)Em+ncn(t)m|H^1(t)|n

mit iddtcm(t)=cm(t)Em+e(iEmt)iddtgm(t)

Setzt man dies ein, so folgt:

cm(t)Em+e(iEmt)iddtgm(t)=cm(t)Em+ncn(t)m|H^1(t)|niddtgm(t)=e(iEmt)ncn(t)m|H^1(t)|n

und wegen cn(t):=e(iEnt)gn(t) also:

iddtgm(t)=ne(i(EmEn)t)m|H^1(t)|ngn(t)

Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines ε:

H^1(t)=εV^

( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)

Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von m|H^1(t)|n

polynomial in ε

fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:

gn(t)=gn(0)(t)+εgn(1)(t)+ε2gn(2)(t)+...

Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.

Dabei gilt:

n|nn||Ψt=ncn(t)|nn||Ψt:=cn(t)

cn(t):=e(iEnt)gn(t)

Da aber die Differenzialgleichung für unsere gm(t)

iddtgm(t)=ne(i(EmEn)t)m|H^1(t)|ngn(t)

ebenso beidseitig entwickelt werden kann:

iddt(gm(0)(t)+εgm(1)(t)+ε2gm(2)(t)+...)=ne(i(EmEn)t)m|H^1(t)|n(gn(0)(t)+εgn(1)(t)+ε2gn(2)(t)+...)

und dies für beliebige ε

gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung εk

durchgeführt werden und es folgt: k=0:

iddtgm(0)(t)=0gm(0)(t)=const=!=δmn0

Exakte Lösung für ε=0

cm(0)(t)=eiEmtδmn0

Für k=1

iddtgm(1)(t)=ne(i(EmEn)t)m|V^|ngn(0)

Dabei wurde εk=ε1

bereits beidseitig gekürzt.

Beim Vergleich der Ordnungen von ε

muss man aufpassen.

Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von ε

. Rechts dagegen hat man eine Ordnung von ε

, die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch H^1(t)=εV^

. Also hat man formal in erster Ordnung von ε

iddtεgm(1)(t)=ne(i(EmEn)t)m|εV^|ngn(0)iddtgm(1)(t)=ne(i(EmEn)t)m|V^|ngn(0)

Wir wissen: gm(0)(t)=const=!=δmn0

Somit:

iddtgm(1)(t)=ne(i(EmEn)t)m|V^|ngn(0)

also:

iddtgm(1)(t)=e(i(EmEn0)t)m|V^|n0

und mit der Anfangsbedingung gn(1)(0)=0

kann formal integriert werden:

gm(1)(t)=1i0tdτe(i(EmEn0)τ)m|V^|n0

Übergangswahrscheinlichkeit

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand |n

zu finden, wenn zu t=0 der Zustand |n0

vorliegt.

|n||Ψt|2=|n´cn´(t)n||n´|2=|cn(t)|2=|gn(t)|2

Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:

gn(t)=gn(o)=δnn0=1 für n=n0 und gn(t)=εgn(1) für nn0

Zeitunabhängige Störung:

V^=const.

gn(1)(t)=i0tdτe(i(EnEn0)τ)n|V^|n0=n|V^|n0e(i(EnEn0)t)1EnEn0|gn(1)(t)|2=|n|V^|n0|2{e(i(EnEn0)t)1EnEn0}{e(i(EnEn0)t)1EnEn0}:=|n|V^|n0|2{(e(iΩt)1)(e(iΩt)1)Ω22}Ω:=(EnEn0)|gn(1)(t)|2=|n|V^|n0|22(1cosΩt)Ω22=|n|V^|n0|24sin2Ω2tΩ224sin2Ω2tΩ22:=Dt(EnEn0)|gn(1)(t)|2=|n|V^|n0|2Dt(EnEn0)

Die GrößeΩ:=(EnEn0) heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von |n0 auf |n

Datei:Sign squared.png Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):

Dt(0)=(t)2limt(Dt(0))=Dt(E)=dE4sin2(Et2)E2=2tdξsin2ξξ2dξsin2ξξ2=πDt(E)=2πt

Also: Dt(E)=:2πtδt(E)limtDt(E)=2πtδ(E)

Grafisch Datei:Sign squared.gif

|n||Ψt|2=|gn(t)|2=2π|n|H^1|n0|2tδt(EnEn0)

Für t Energieerhaltung: EnEn0=0

Für t< hat Dt(E)=:2πtδt(E) die Breite ΔE4πt

Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation: ΔEt4π

Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( von |n0 auf |n ): Wnn0=ddt|n||Ψt|2=2π|n|H^1|n0|2δt(EnEn0)

Mit dem Übergangsmatrixelement n|H^1|n0

und einer quadratischen Sinc- Funktion, δt(EnEn0) ( siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie EnEn0 beschränkt, so lange deren Abweichung von EnEn0 noch der Unschärfe genügt ( Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um EnEn0 ab, für Quantenenergien, die von EnEn0 verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion !

Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. Dabei gilt:

δtδfu¨rt

Harmonische zeitabhängige Störung

H^1(t)=F^eiωt+F^+eiωt hermitesch !

Es folgt:

gn(t)=i0tdτe(i(EnEn0ω)τ)n|F^|n0i0tdτe(i(EnEn0+ω)τ)n|F^+|n0gn(t)=n|F^|n0{e(i(EnEn0ω)t)1EnEn0ω}n|F^+|n0{e(i(EnEn0+ω)t)1EnEn0+ω}

Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von |n0 auf |n

|n|Ψt|2=|gn|2=2π|n|F^|n0|2tδ(EnEn0ω)+2π|n|F^+|n0|2tδ(EnEn0+ω)+n|F^|n0*n|F^+|n0{e(i(EnEn0ω)t)1EnEn0ω}{e(i(EnEn0+ω)t)1EnEn0+ω}+n|F^+|n0*n|F^|n0{e(i(EnEn0+ω)t)1EnEn0+ω}{e(i(EnEn0ω)t)1EnEn0ω}Ω±:=Ω±ω=(EnEn0±ω)|n|Ψt|2=|gn|2=2π|n|F^|n0|2tδ(EnEn0ω)+2π|n|F^+|n0|2tδ(EnEn0+ω)+n|F^|n0*n|F^+|n0{(e(iΩt)1)(e(iΩ+t)1)2Ω+Ω}+n|F^+|n0*n|F^|n0{(e(iΩ+t)1)(e(iΩt)1)2Ω+Ω}n|F^|n0*n|F^+|n0:=Aeiγn|F^+|n0*n|F^|n0:=Aeiγ

|n|Ψt|2=|gn|2=2π|n|F^|n0|2tδ(EnEn0ω)+2π|n|F^+|n0|2tδ(EnEn0+ω)+Aeiγ{(e(iΩt)1)(e(iΩ+t)1)2Ω+Ω}+Aeiγ{(e(iΩ+t)1)(e(iΩt)1)2Ω+Ω}

Weiter gilt

Aeiγ{(e(iΩt)1)(e(iΩ+t)1)2Ω+Ω}+Aeiγ{(e(iΩ+t)1)(e(iΩt)1)2Ω+Ω}=4A2Ω+Ωcos(ωtγ)[cos(ωt)cos(Ωt)] Für ω0,Ω0 sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für t sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme ~tδ(EnEn0±ω)=tδ(Ω±)

Somit folgt für t

|n|Ψt|2=|gn|2=2π|n|F^|n0|2tδ(EnEn0ω)+2π|n|F^+|n0|2tδ(EnEn0+ω)

Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen |n0 und |n pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:

Wnn0=ddt|n|Ψt|2=2π|n|F^|n0|2δ(EnEn0ω)+2π|n0|F^|n|2δ(EnEn0+ω)

Die Terme lassen sich identifizieren:

2π|n|F^|n0|2δ(EnEn0ω) steht für die Absorption eines Quants der Energie ω bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von |n0 auf|n , was einem Energiesprung von EnEn0 entspricht. Das Quant wird also von Niveau |n0 auf |n gehievt

2π|n0|F^+|n|2δ(EnEn0+ω) steht für die Emission eines Quants der Energie ω bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von |n auf|n0 , was einer Energieabgabe von En0En entspricht. Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau |n0 auf das Niveau |n herunter.

Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild

Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)

Im Wechselwirkungsbild gilt:

H^W1(t)=e(iH^0t)H^S1e(iH^0t)

Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit H^0 gewonnen, während die Zustände mitH^W1(t) evolutionieren:

iddt|ΨW=H^W1(t)|ΨW

Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:

|ΨW(t)=|ΨW(t=0)i0tdτ(H^W1(τ)|ΨW(τ))|ΨW(t=0)=|n0

Für kleine H^W1 liefert eine Iteration:

|ΨW(t)=|ΨW(t=0)i0tdτ(H^W1(τ)|ΨW(τ))(1i0tdτH^W1(τ))|n0|ΨW(t)(1i0tdτH^W1(τ))|n0=(1i0tdτeiH^0τH^S1eiH^0τ)|n0

Mit |ΨS(t)=eiH^0t|ΨW(t)eiH^0t(1i0tdτeiH^0τH^S1eiH^0τ)|n0

und eiH^0t(1i0tdτeiH^0τH^S1eiH^0τ):=U(t,0) Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild

Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:

cn(t)=n||Ψ=n|U(t,0)|n0=n|eiH^0t(1i0tdτeiH^0τH^S1eiH^0τ)|n0cn(t)=eiEnt(δnn0i0tdτeiEnτn|H^S1|n0eiEn0τ)δnn0=gn(0)i0tdτeiEnτn|H^S1|n0eiEn0τ=εgn(1)cn(t)=eiEnt(δnn0i0tdτeiEnτn|H^S1|n0eiEn0τ)=eiEntgn(t)

In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 !