Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Kategorie:Quantenmechanik
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Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:
![{\displaystyle {\hat {\bar {J}}}={\hat {\bar {L}}}+{\hat {\bar {S}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5e03f2f9d456062c4a257ee708e9d7529bd877)
Die Vertauschungsrelationen:
![{\displaystyle \left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {S}}_{k}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bbae446111d55358f1cc53feac8f45c3efd28d)
Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow \left[{{\hat {J}}_{j}},{{\hat {J}}_{k}}\right]=\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{k}}\right]+\left[{{\hat {S}}_{j}},{{\hat {S}}_{k}}\right]\\&\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {L}}_{l}}\\&\left[{{\hat {S}}_{j}},{{\hat {S}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {S}}_{l}}\\&\Rightarrow \left[{{\hat {J}}_{j}},{{\hat {J}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {J}}_{l}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8566f1e3d54803dfd014ba4ee7b87e88d3df496)
Drehimpuls Vertauschungsrelationen !
![{\displaystyle \left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=\left[{{\hat {L}}^{2}}+{{\hat {\bar {S}}}^{2}}+2{\hat {\bar {L}}}\cdot {\hat {\bar {S}}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=2{{\hat {\bar {S}}}_{j}}\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=2i\hbar \left({{\hat {S}}_{2}}{{\hat {L}}_{1}}-{{\hat {S}}_{1}}{{\hat {L}}_{2}}\right)\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1ef7f41bca3d04360dfcf191eac542ccf56209)
Ebenso:
![{\displaystyle \left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {S}}_{3}}\right]\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a549ec0421840a9687a8c8e1d90c1072b920c62f)
Also:
Die
Produktzustände
sind Eigenzustände zu
aber nicht zu
, da
bzw.
Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu
,
,
.
Dies muss möglich sein, da
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {L}}^{2}}\right]=\left[{{\hat {L}}^{2}}+{{\hat {\bar {S}}}^{2}}+2{\hat {\bar {L}}}\cdot {\hat {\bar {S}}},{{\hat {L}}^{2}}\right]=0\\&\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\right]=\left[{{\hat {L}}^{2}}+{{\hat {\bar {S}}}^{2}}+2{\hat {\bar {L}}}\cdot {\hat {\bar {S}}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\right]=0\\&\left[{{\hat {J}}_{3}},{{\hat {L}}^{2}}\right]=\left[{{\hat {L}}_{3}}+{{\hat {\bar {S}}}_{3}},{{\hat {L}}^{2}}\right]=0\\&\left[{{\hat {J}}_{3}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\right]=\left[{{\hat {L}}_{3}}+{{\hat {\bar {S}}}_{3}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\right]=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1364fcd7864e6c2dd67b9537a63907d1a14d23)
Die Eigenwertgleichungen lauten:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {J}}^{2}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle \\&{{\hat {J}}_{3}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle =\hbar {{m}_{j}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle \\&{{\hat {L}}^{2}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle ={{\hbar }^{2}}(l(l+1)\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle \\&{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle ={{\hbar }^{2}}(s(s+1)\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7496dd3b96f319f53e2fa6d01e5476b2c9dcb2)
Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand
bezüglich des alten Zustandes
entwickelt werden:
![{\displaystyle \left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m\\{{m}_{S}}={{m}_{j}}-m\end{smallmatrix}}{}\left|lms{{m}_{s}}\right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}}|j{{m}_{j}}ls\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56774cc4d419fa19bd4a7f010006617bc914cd4a)
Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !
Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis
Clebsch-Gordan-Koeffizienten{{#set:Fachbegriff=Clebsch-Gordan-Koeffizienten|Index=Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} !
![{\displaystyle \left\langle lms{{m}_{s}}|j{{m}_{j}}ls\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d552f1be9364bf3f90aeeb820d5195d8b60fff77)
Dabei gilt:
Wobei:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&j=l\pm {\frac {1}{2}}\\&{{m}_{j}}=m+{{m}_{S}}\\&m=-l,...,+l\\&{{m}_{S}}=-{\frac {1}{2}},+{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e41767e69d55c0b9a06ce0b7718f7d22e085391)