Addition von Drehimpulsen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

${\hat {\bar {J}}}={\hat {\bar {L}}}+{\hat {\bar {S}}}$

Die Vertauschungsrelationen:

$\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {S}}_{k}}\right]=0$

Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.

${\begin{aligned}&\Rightarrow \left[{{\hat {J}}_{j}},{{\hat {J}}_{k}}\right]=\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{k}}\right]+\left[{{\hat {S}}_{j}},{{\hat {S}}_{k}}\right]\\&\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {L}}_{l}}\\&\left[{{\hat {S}}_{j}},{{\hat {S}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {S}}_{l}}\\&\Rightarrow \left[{{\hat {J}}_{j}},{{\hat {J}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {J}}_{l}}\\\end{aligned}}$

Drehimpuls Vertauschungsrelationen !

$\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=\left[{{\hat {L}}^{2}}+{{\hat {\bar {S}}}^{2}}+2{\hat {\bar {L}}}\cdot {\hat {\bar {S}}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=2{{\hat {\bar {S}}}_{j}}\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=2i\hbar \left({{\hat {S}}_{2}}{{\hat {L}}_{1}}-{{\hat {S}}_{1}}{{\hat {L}}_{2}}\right)\neq 0$

Ebenso:

$\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {S}}_{3}}\right]\neq 0$

Also:

Die $2(2l+1)$

Produktzustände $\left|lm{{m}_{S}}\right\rangle =\left|lm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle$

sind Eigenzustände zu ${{\hat {L}}^{2}},{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}},{{\hat {S}}_{3}}$

aber nicht zu ${{\hat {J}}^{2}}$

, da

$\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {L}}_{3}}\right]\neq 0$

bzw. $\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {S}}_{3}}\right]\neq 0$

Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu ${{\hat {J}}^{2}}$

,${{\hat {J}}_{3}}$

,${{\hat {L}}^{2}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}}$

.

Dies muss möglich sein, da

${\begin{aligned}&\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {L}}^{2}}\right]=\left[{{\hat {L}}^{2}}+{{\hat {\bar {S}}}^{2}}+2{\hat {\bar {L}}}\cdot {\hat {\bar {S}}},{{\hat {L}}^{2}}\right]=0\\&\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\right]=\left[{{\hat {L}}^{2}}+{{\hat {\bar {S}}}^{2}}+2{\hat {\bar {L}}}\cdot {\hat {\bar {S}}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\right]=0\\&\left[{{\hat {J}}_{3}},{{\hat {L}}^{2}}\right]=\left[{{\hat {L}}_{3}}+{{\hat {\bar {S}}}_{3}},{{\hat {L}}^{2}}\right]=0\\&\left[{{\hat {J}}_{3}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\right]=\left[{{\hat {L}}_{3}}+{{\hat {\bar {S}}}_{3}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\right]=0\\\end{aligned}}$

Die Eigenwertgleichungen lauten:

${\begin{aligned}&{{\hat {J}}^{2}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle \\&{{\hat {J}}_{3}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle =\hbar {{m}_{j}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle \\&{{\hat {L}}^{2}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle ={{\hbar }^{2}}(l(l+1)\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle \\&{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle ={{\hbar }^{2}}(s(s+1)\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle \\\end{aligned}}$

Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand $\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle$

bezüglich des alten Zustandes $\left|lms{{m}_{s}}\right\rangle$

entwickelt werden:

$\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m\\{{m}_{S}}={{m}_{j}}-m\end{smallmatrix}}{}\left|lms{{m}_{s}}\right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}}\right|\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle$

Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !

Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

Clebsch- Gordan- Koeffizienten !

$\left\langle lms{{m}_{s}}\right|\left|j{{m}_{j}}ls\right\rangle$

Dabei gilt:

$s={\frac {1}{2}}$ ${{m}_{s}}={\frac {1}{2}}$ ${{m}_{s}}=-{\frac {1}{2}}$

$j=l+{\frac {1}{2}}$ ${{\left({\frac {l+{{m}_{j}}+{\frac {1}{2}}}{2l+1}}\right)}^{\frac {1}{2}}}$ ${{\left({\frac {l-{{m}_{j}}+{\frac {1}{2}}}{2l+1}}\right)}^{\frac {1}{2}}}$

$j=l-{\frac {1}{2}}$ $-{{\left({\frac {l-{{m}_{j}}+{\frac {1}{2}}}{2l+1}}\right)}^{\frac {1}{2}}}$ ${{\left({\frac {l+{{m}_{j}}+{\frac {1}{2}}}{2l+1}}\right)}^{\frac {1}{2}}}$

Wobei:

${\begin{aligned}&j=l\pm {\frac {1}{2}}\\&{{m}_{j}}=m+{{m}_{S}}\\&m=-l,...,+l\\&{{m}_{S}}=-{\frac {1}{2}},+{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$