Addition von Drehimpulsen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

65px|Kein GFDL

Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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( Vergl. Schwabl)

Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

${\hat {\bar {J}}}={\hat {\bar {L}}}+{\hat {\bar {S}}}$

Die Vertauschungsrelationen:

$\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {S}}_{k}}\right]=0$

Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.

${\begin{aligned}&\Rightarrow \left[{{\hat {J}}_{j}},{{\hat {J}}_{k}}\right]=\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{k}}\right]+\left[{{\hat {S}}_{j}},{{\hat {S}}_{k}}\right]\\&\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {L}}_{l}}\\&\left[{{\hat {S}}_{j}},{{\hat {S}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {S}}_{l}}\\&\Rightarrow \left[{{\hat {J}}_{j}},{{\hat {J}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {J}}_{l}}\\\end{aligned}}$

Drehimpuls Vertauschungsrelationen !

$\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=\left[{{\hat {L}}^{2}}+{{\hat {\bar {S}}}^{2}}+2{\hat {\bar {L}}}\cdot {\hat {\bar {S}}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=2{{\hat {\bar {S}}}_{j}}\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=2i\hbar \left({{\hat {S}}_{2}}{{\hat {L}}_{1}}-{{\hat {S}}_{1}}{{\hat {L}}_{2}}\right)\neq 0$

Ebenso:

$\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {S}}_{3}}\right]\neq 0$

Also:

Die $2(2l+1)$

Produktzustände $\left|lm{{m}_{S}}\right\rangle =\left|lm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle$

sind Eigenzustände zu ${{\hat {L}}^{2}},{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {\bar {S}}}^{2}},{{\hat {S}}_{3}}$

aber nicht zu ${{\hat {J}}^{2}}$

, da

$\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {L}}_{3}}\right]\neq 0$

bzw. $\left[{{\hat {J}}^{2}},{{\hat {S}}_{3}}\right]\neq 0$

Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu ${{\hat {J}}^{2}}$

, , .

Dies muss möglich sein, da

Die Eigenwertgleichungen lauten:

Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand bezüglich des alten Zustandes entwickelt werden:

Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !

Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

Clebsch- Gordan- Koeffizienten !

Dabei gilt:

Wobei: