Der harmonische Oszillator

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der harmonische Oszillator basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2}{2}{\hat{x}}^2$

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

$[\hat{p},\hat{x}]=\frac{\hslash }{i}$

Besser:

$[{\hat{p}}_l,{\hat{x}}_k]=\frac{\hslash }{i}{\delta }_{kl}$

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}}

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}}

Ebenso:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}}

Somit:

$\hat{H}=\frac{1}{2}\hslash \omega (a{a}^{+}+a^{+}a)=\frac{1}{2}\hslash \omega (a^{+}a+1+a^{+}a)=\hslash \omega (a^{+}a+\frac{1}{2})$

Merke dazu:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

Somit:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

$E_0=\frac{1}{2}\hslash \omega$

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

$\begin{array}{cc}& \left(a{a}^{+}\right)a=\frac{1}{\hslash \omega }\hat{H}a+\frac{1}{2}a\\ & =a\left(a^{+}a\right)=\frac{1}{\hslash \omega }a\hat{H}-\frac{1}{2}a\\ & \Rightarrow [a,\hat{H}]=a\hat{H}-\hat{H}a=\hslash \omega a\\ \end{array}$

Ebenso die adjungierteVersion:

$-[a^{+},\hat{H}]=\left(a\hat{H}\right)\stackrel{´}{}\ast -\left(\hat{H}a\right)\ast =\hslash \omega a^{+}$

Well mcaadmaia nuts, how about that.

Eigenwerte von H

Sei $|E⟩$

ein normierter Eigenvektor von $\hat{H}$

mit $\hat{H}|E⟩=E|E⟩$

So gilt:

$\begin{array}{cc}& \hslash \omega ⟨E|a^{+}a|E⟩=⟨E|\hat{H}-\frac{\hslash \omega }{2}|E⟩=⟨E|E-\frac{\hslash \omega }{2}|E⟩=E-\frac{\hslash \omega }{2}\\ & ⟨E|a^{+}a|E⟩=⟨\Psi |\Psi ⟩\ge 0\\ \end{array}$

Das bedeutet:

$\begin{array}{cc}& E\ge \frac{\hslash \omega }{2}\\ & E\ge \frac{\hslash \omega }{2}\iff a|E⟩=0\\ \end{array}$

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

Behauptung

$a|E⟩$

ist Eigenzustand zu $\hat{H}$

mit dem Eigenwert $E-\hslash \omega$

Also: $\hat{H}a|E⟩=(E-\hslash \omega )a|E⟩$

Beweis:

$\hat{H}a|E⟩=(a\hat{H}-\hslash \omega )a|E⟩=a(\hat{H}-\hslash \omega )|E⟩=a(E-\hslash \omega )|E⟩=(E-\hslash \omega )a|E⟩$

Dabei gilt

$\hat{H}a|E⟩=(a\hat{H}-\hslash \omega )a|E⟩$

wegen

$[a,\hat{H}]=\hslash \omega a$

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände $|E⟩\ne 0$

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht $E\ge \frac{\hslash \omega }{2}$

gelten würde.

Daher existiert ein $m\in N$

so dass $a^m|E⟩=0$

aber $a^{m-1}|E⟩\ne 0$

Also definiere man einen Grundzustand:

$|0⟩:=a^{m-1}|E⟩$

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

$\hat{H}|0⟩=\hslash \omega (a^{+}a+\frac{1}{2})|0⟩=\frac{1}{2}\hslash \omega |0⟩$

wegen

$a|0⟩=a^m|E⟩=0$

Also:

$\begin{array}{cc}& E_0=\frac{\hslash \omega }{2}\\ & a|0⟩=a^m|E⟩=0\\ \end{array}$

Weiter:

$\hat{H}{a}^{+}|0⟩=(a^{+}H+\hslash \omega a^{+})|0⟩=a^{+}(\hat{H}+\hslash \omega )|0⟩=a^{+}(\frac{\hslash \omega }{2}+\hslash \omega )|0⟩=\frac{3\hslash \omega }{2}{a}^{+}|0⟩$

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

$[a^{+},\hat{H}]=-\hslash \omega a^{+}$

Das heißt nun aber, dass $a^{+}|0⟩$

der Eigenzustand von $\hat{H}$

zum Eigenwert $\frac{3\hslash \omega }{2}$

ist.

Vollständige Induktion

$\hat{H}{\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=\hslash \omega (n+\frac{1}{2}){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩$

Dann:

$\begin{array}{cc}& \hat{H}{\left(a^{+}\right)}^{n+1}|0⟩=(a^{+}\hat{H}+\hslash \omega a^{+}){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=a^{+}(\hat{H}+\hslash \omega ){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩\\ & (\hat{H}+\hslash \omega ){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=(\hslash \omega (n+\frac{1}{2})+\hslash \omega ){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩\\ & \Rightarrow \hat{H}{\left(a^{+}\right)}^{n+1}|0⟩=a^{+}(\hat{H}+\hslash \omega ){\left(a^{+}\right)}^n|0⟩=\hslash \omega (n+1+\frac{1}{2}){\left(a^{+}\right)}^{n+1}|0⟩\\ \end{array}$

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Teilchenzahloperator

$\begin{array}{cc}& N:=a^{+}a\\ & N|n⟩=a^{+}a|n⟩=a^{+}\sqrt{n}|n-1⟩=\sqrt{n}\sqrt{n}|n⟩=n|n⟩\\ \end{array}$

In Übereinstimmung mit

$\hat{H}|n⟩=\hslash \omega (a^{+}a+\frac{1}{2})|n⟩=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})|n⟩$

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