Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Die Quantisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Kategorie:Quantenmechanik
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Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum
z.B. Ort:
Geschwindigkeit:
hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !
Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:
1. Parität:
als der Spiegeloperator.
Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch
Dies kann jedoch bedeuten:
mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.
Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind
. Es gilt:
2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand
?
Der Projektionsoperator lautet:
![{\displaystyle {{\hat {P}}_{\Psi }}:=\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20d5ce21dce1cc8ffbbc9367b7d2e2abc0d6f17)
Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich
Die Wirkung:
![{\displaystyle {{\hat {P}}_{\Psi }}\left|\Psi \right\rangle =\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi |\Psi \right\rangle =\left|\Psi \right\rangle 1=\left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ff3073a7db6390a02246d668bd4a6575c323d1)
Eigenwert +1
![{\displaystyle {{\hat {P}}_{\Psi }}\left|\Phi \right\rangle =\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi |\Phi \right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9c0ba36953b75045b8e31fe03003f23e4967b2)
Eigenwert 0, falls
Befindet sich ein Zustand
teilweise im Zustand
, so gilt:
![{\displaystyle {{\hat {P}}_{\Psi }}\left|\Phi \right\rangle =\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi |\Phi \right\rangle =c\left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d1920791d9900f95468207181b29f982b85ecc)
Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands
in
, also die Wurzel des Anteils von
in
Vertauschungsrelationen
Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:
![{\displaystyle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]=0\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6381b2a22c8fa47048e4ba00ded2723091219b45)
![{\displaystyle {\hat {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22e0749dfc79fd15d8f156203a276fb7092fc51)
und
besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen
![{\displaystyle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]=0\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6381b2a22c8fa47048e4ba00ded2723091219b45)
Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar
![{\displaystyle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\neq 0\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8685de5c4b8b99e78b70c1cc308c25f6b3892793)
Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen
Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{{\hat {p}}_{i}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{{\delta }_{ik}}1\\&\left[{{\hat {p}}_{i}},{{\hat {p}}_{k}}\right]=\left[{{\hat {x}}_{i}},{{\hat {x}}_{k}}\right]=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d792a84795a1f59ad0e6c833693f0577064008)
i=1,2,3 kartesische Koordinaten
Übungsweise kann man zeigen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {p}},T\right]=?\\&\left[F,{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial F}{\partial {{p}_{k}}}}\\&\left[F,{{\hat {p}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial F}{\partial {{x}_{k}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c546afe2dd92a4bbfb23ca0410dbae1b77f64f)
Berechnung in der Ortsdarstellung:
![{\displaystyle \left[{{\hat {p}}_{i}},{{\hat {x}}_{k}}\right]\Psi ({\bar {r}})={\frac {\hbar }{i}}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}{\frac {\hbar }{i}}{{\partial }_{i}}\Psi ={\frac {\hbar }{i}}{{\delta }_{ik}}\Psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1d8a44b51b2df8746bd381cfd0dfd08f49c0bb)
Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.
Der Meßprozeß:
![{\displaystyle \left|\Phi \right\rangle -1.MessungvonF\to \left|\Phi {\acute {\ }}\right\rangle -2.MessungvonF\to \left|\Phi {\acute {\ }}{\acute {\ }}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad3d045560a620381534ef93b35500f1186fd51)
Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.
Die Messwerte sind F´ in
und F´´in
.
Forderung: F´ = F ´´
→
(Eigenwert)
![{\displaystyle \left|\Phi {\acute {\ }}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489da1ae8c4fb068428440f602112fd77b1eb724)
=
=
Eigenzustand zu
Also:
Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.
Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.
Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:
Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.
Dabei kennzeichnet rechts
den Eigenzustand zu mz = -1
Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle \Psi \right|{\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{n,n{\acute {\ }}}^{}{\left\langle \Psi |n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {F}}\left|n{\acute {\ }}\right\rangle \left\langle n{\acute {\ }}|\Psi \right\rangle }\\&\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|n{\acute {\ }}\right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn{\acute {\ }}}}\\&\Rightarrow \left\langle \Psi \right|{\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{n}^{}{{{F}_{n}}{{\left|\left\langle n|\Psi \right\rangle \right|}^{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514b2f08dfd31d4e44cccf6b772cb3a4190273fe)
Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand
( vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:
![{\displaystyle p({{F}_{n}})={{\left|\left\langle n|\Psi \right\rangle \right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b48431545d67659d7f236070a761453fbcd5ba)
Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:
![{\displaystyle p({\bar {r}})={{\left|\Psi ({\bar {r}})\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {\bar {r}}|\Psi \right\rangle \right|}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8e0502749fccc0c9cdadc1e3f81095948967e6)
Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:
![{\displaystyle {{\left|\left\langle n|\Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi |n\right\rangle \left\langle n|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat {P}}_{n}}\left|\Psi \right\rangle =\left\langle {{\hat {P}}_{n}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074f8338c95234ca52a250d2f212db94ad0abf02)
Maximalmessung:
Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG.
Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet !
Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind
der Zustand
ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt.
Spezialfall:
Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind ( z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR
eine vollständige Observable
Bei Entartung: Weitere, mit
vertauschbare Observable hinzufügen (z.B. Drehimpuls, vergl. Kapitel 3)
Der Hilbertraum H eines physikalischen Systems wird durch die gemeinsamen Eigenvektoren (Basis) eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen aufgespannt.
Nichtvertauschbarkeit und Unschärfe
Seien
und
hermitesche Operatoren und
ein beliebiger Zustand.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\hat {F}}:={\hat {F}}-\left\langle {\hat {F}}\right\rangle \\&\Delta {\hat {G}}:={\hat {G}}-\left\langle {\hat {G}}\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed78e53253668901ecbe1930c5788e489d89d8ec)
sind ebenfalls hermitesche Operatoren
Bilde:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f(\lambda ):=\left\langle \left(\Delta {\hat {F}}+i\lambda \Delta {\hat {G}}\right)\left(\Delta {\hat {F}}-i\lambda \Delta {\hat {G}}\right)\right\rangle \\&=\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle -i\lambda \left\langle \left[\Delta {\hat {F}},\Delta {\hat {G}}\right]\right\rangle +{{\lambda }^{2}}\left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle \\&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle :=\alpha \geq 0\\&\left\langle \left[\Delta {\hat {F}},\Delta {\hat {G}}\right]\right\rangle :=\beta \\&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle :=\gamma \geq 0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aadc73af640c1252386d16edd366c8fa75945b8)
Dies ist eine quadratische Funktion von
mit
für
Lemma:
Für hermitesche Operatoren
und
gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\hat {A}}{\hat {A}}\right\rangle \geq 0\\&{{\left\langle i{\hat {A}}\right\rangle }^{+}}=-\left\langle i{\hat {A}}\right\rangle \\&\left\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\right\rangle *=\left\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601351401133f17e5aa002d486c8b14acf6523bd)
Mit
Suche nach dem Minimum:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f{\acute {\ }}(\lambda )=-i\beta +2\lambda \gamma =0\\&\Rightarrow {{\lambda }_{0}}={\frac {i}{2}}{\frac {\beta }{\gamma }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40023d9ddc9dda1c10af49f5d53dc83fb55ac0f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle :=\alpha \geq 0\\&\left\langle \left[\Delta {\hat {F}},\Delta {\hat {G}}\right]\right\rangle :=\beta \\&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle :=\gamma \geq 0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20771e9552bebead5926fdaea2b8302373d07e20)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f({{\lambda }_{0}})=\alpha +{\frac {{\beta }^{2}}{2\gamma }}-{\frac {{\beta }^{2}}{4\gamma }}=\alpha +{\frac {{\beta }^{2}}{4\gamma }}\geq 0\\&{{\beta }^{2}}={{\left\langle \left[\Delta {\hat {F}},\Delta {\hat {G}}\right]\right\rangle }^{2}}={{\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle }^{2}}=-\left\langle \left[{\hat {G}},{\hat {F}}\right]\right\rangle \left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle =-\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle *\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle =-{{\left|\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle \right|}^{2}}\\&\Rightarrow \left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle \left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle \geq {\frac {1}{4}}{{\left|\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle \right|}^{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86438b3e846e4da2d71f95cfb34f5d259903ab8)
Somit jedoch ergibt sich die quantenmechanische Unschärfe gemäß
![{\displaystyle {\sqrt {\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle \left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle }}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle \right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf201839d8d39c5c404a61b66cf07a77b7749af3)
- (Unschärferelation)
Speziell:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {p}},{\hat {x}}\right]={\frac {\hbar }{i}}1\\&{\sqrt {\left\langle {{\left(\Delta {\hat {p}}\right)}^{2}}\right\rangle \left\langle {{\left(\Delta {\hat {x}}\right)}^{2}}\right\rangle }}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {p}},{\hat {x}}\right]\right\rangle \right|={\frac {\hbar }{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004519e99e86e34fd4bad2e7304b3db9def985fa)
Heisenbergsche Unschärferelation für die Orts- und Impulsunschärfe
Zusammenfassung
Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor
ausgedrückt
Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator
.
Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert
Die Messung von F liefert einen Messwert, welcher immer Eigenwert der Observablen ist, also Fn. Der Zustand wird dabei auf einen Eigenzustand reduziert:
Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\Psi \right\rangle ={\hat {H}}\left|\Psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8ee66fbdd6418338932cfdfeacee332c48928b)
Nebenbemerkung: Die Quantenmechanik ist keine Wellen- oder Teilchenmechanik sondern eine Zustandsmechanik. Der Dualismus zwischen Welle und Teilchen wird in einem einheitlichen Formalismus aufgelöst.