Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=7}}
Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Stetigkeitsbedingung:
Bei stückweise stetigem Potenzial ( Sprünge sind erlaubt, dürfen aber nicht die Regel sein). Außerdem ist das Potenzial ansonsten beliebig, sind
stetig.
Die eindimensionale Zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet:
![{\displaystyle \phi {\acute {\ }}{\acute {\ }}(x)={\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}\left[V(x)-E\right]\phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad31d0b2cf1cdb809ab0d676af88bac03ce243b)
Das Potenzial habe nun einen Sprung bei x=xo:
Wäre nun
unstetig an der Stelle x=xo, so ergebe sich:
. Die rechte Seite der Schrödingergleichung ist jedoch an jedem Punkt beschränkt ( die Wellenfunktion selbst muss normierbar sein). Somit ergibt sich ein Widerspruch.
Oft ist es zweckmäßig die sogenannte Eigenableitung zu verwenden. Diese logarithmische Ableitung ist stetig:
( Eigenableitung = logarithmische Ableitung):
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \phi (x){{\left.{}\right|}_{x0}}={\frac {\phi {\acute {\ }}(x)}{\phi (x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f38529b2e8989367dfd7bd2d21eb915716fefd9)
Für ein
- förmiges Potenzial gilt:
:
ist stetig
hat endlichen Sprung bei x0
Charakterisierung des Energiespektrums
Gegeben sei ein stückweise stetiges, nach unten beschränktes Potenzial mit
Für den Bereich
( klassische verboten), gilt:
![{\displaystyle {\frac {\phi {\acute {\ }}{\acute {\ }}(x)}{\phi (x)}}={\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}\left(V(x)-E\right)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e188db5aec8b6f2210ee0f23374507e0c6eb8de7)
Also für den Fall
ist die Krümmung konvex und für
(zweite mögliche Alternative) ist die Krümmung konkav.
Jedenfalls ist die Wellenfunktion von der x- Achse "weggekrümmt", also allgemein gesprochen "divergent":
Dies ist deutlicher zu erkennen, wenn man Potenziale einzeichnet, die hier größer sind als die Energie: Es gibt immer exponentielle Dämpfung in derartigen Fällen:
Im Bereich
gilt:
. Dieser Bereich ist auch klassisch erlaubt. Hier ist die Krümmung stets zur x- Achse hin, also im Wesentlichen oszillierend:
Damit können wir unsere Eigenfunktionen klassifizieren:
1)
: Die Energie liegt überall unterhalb des Potenzials ->
divergiert nach
. Keine Lösung existiert !
: Es existieren gebundene Zustände;
- bei symmetrischem ( vollkommen rotationssymmetrisch) Potenzial V existiert mindestens ein gebundener Zustand
-> eindimensionale Potenzialtöpfe sind immer vollkommen rotationssymmetrisch ! -> es existiert immer ein gebundener Zustand.
Dies ist anders bei 2- / 3- dimensionalen Potenzialtöpfen ! Wenn diese nicht vollständig rotationssymmetrisch sind, kann es sein, dass kein Zustand existiert, wenn die Töpfe flach genug sind !
entartet heißt: zu einem Eigenwert gehören mehrere, linear unabhängige Eigenfunktionen !
Beweis des Knotensatzes
Zu JEDEM E existiert genau eine Lösung
der Gleichung
mit
( Bilde z.B. Linearkombination von 2 linear unabhängigen Lösungen).
Dies gilt natürlich nur im nicht entarteten Fall ! Wie er unter 2) für
der Fall ist !
Nun ist dann aber im Allgemeinen
. Verschiebt man nun E so, dass auch
-> dann erhalten wir die Energien, die die speziellen diskreten Eigenwerte E repräsentieren.
Die Behauptung ist: zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Inneren an den Rand wandern:
Beweis:
Sei
eine Nullstelle von
. Nun bilde man die Wronski- Determinante von
und von
Es gilt:
![{\displaystyle \left({{\phi }_{E}}{\acute {\ }}z-{{\phi }_{E}}z{\acute {\ }}\right)\left.{}\right|_{-\infty }^{{x}_{0}}=\int \limits _{-\infty }^{{x}_{0}}{\left({{\phi }_{E}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}z-{{\phi }_{E}}z{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right)dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cc54f14a8b237307d480f97e0e5e85ffa7bcce)
Dabei:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({{\phi }_{E}}{\acute {\ }}z-{{\phi }_{E}}z{\acute {\ }}\right)\left.{}\right|_{-\infty }^{{x}_{0}}={{\phi }_{E}}{\acute {\ }}({{x}_{0}})z({{x}_{0}})-{{\phi }_{E}}({{x}_{0}})z{\acute {\ }}({{x}_{0}})-{{\phi }_{E}}{\acute {\ }}(-\infty )z(-\infty )+{{\phi }_{E}}(-\infty )z{\acute {\ }}(-\infty )\\&{{\phi }_{E}}({{x}_{0}})={{\phi }_{E}}{\acute {\ }}(-\infty )=0\\&\Rightarrow \left({{\phi }_{E}}{\acute {\ }}z-{{\phi }_{E}}z{\acute {\ }}\right)\left.{}\right|_{-\infty }^{{x}_{0}}={{\phi }_{E}}{\acute {\ }}({{x}_{0}})z({{x}_{0}})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037c3997ee7d96f3f6434bd2580c5a97e22c01da)
Außerdem:
![{\displaystyle \left({{\phi }_{E}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}z-{{\phi }_{E}}z{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right)={{\phi }_{E}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}z+{{\phi }_{E}}{\acute {\ }}z{\acute {\ }}-{{\phi }_{E}}{\acute {\ }}z{\acute {\ }}-{{\phi }_{E}}z{\acute {\ }}{\acute {\ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e56d838fa6832ca8d787aee5e076f496511388f)
Aus der Schrödingergleichung
folgt durch Differenziation nach der Energie:
![{\displaystyle z{\acute {\ }}{\acute {\ }}={\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}\left[V(x)-E\right]z-{\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}{{\phi }_{E}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97778461e46ed1786f86ad1c791458a32dc345db)
Kombiniert man dies mit
und
so folgt:
Mit![{\displaystyle {\begin{aligned}&0={\frac {d}{dE}}{{\phi }_{E}}({{x}_{0}})={\frac {\partial {{\phi }_{E}}({{x}_{0}})}{\partial E}}+{{\phi }_{E}}{\acute {\ }}({{x}_{0}}){\frac {\partial {{x}_{0}}}{\partial E}}\\&{\frac {\partial {{\phi }_{E}}}{\partial E}}=z\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee40274eb040de99f7d778d19856afefe247d166)
folgt schließlich:
![{\displaystyle 0={\frac {d{{x}_{0}}}{dE}}=-{\frac {z({{x}_{0}})}{{{\phi }_{E}}{\acute {\ }}({{x}_{0}})}}=-z{{({{x}_{0}})}^{2}}{{\left[\int \limits _{-\infty }^{{x}_{0}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx}\right]}^{-1}}<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3535a4d22829eb64dc4495ae0372a77147acbab5)
Also wandern die Nullstellen mit abnehmender Energie nach rechts. Bei jedem Eigenwert verschwindet eine Nullstelle bei
.
Für
hat
KEINE endliche Nullstelle mehr:
Sonst wäre für
:
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{{x}_{0}}{\left({{\phi }_{E}}{\acute {\ }}{{\phi }_{E}}\right)dx}=-\int \limits _{-\infty }^{{x}_{0}}{\left({{\phi }_{E}}{\acute {\ }}{{\phi }_{E}}{\acute {\ }}\right)dx}={\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}(V-E)\int \limits _{-\infty }^{{x}_{0}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09578ce6ca33a74ab95cbca756e6253963bf8240)
Also ein Widerspruch !
Illustration des Knotensatzes für spezielle Potenziale:
Die zu E1 oder E1´ gehörigen Funktionen besitzen einen Knoten. Nur die Funktion zu E1 ist jedoch eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E1´´ weist bereits 2 Knoten auf.
Bei E0 existieren keine Knoten bei E0, E0´und E0 ´´. Allerdings ist nur die zu E0 gehörige Funktion eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E0´´´ hat bereits einen Knoten, jedoch ist diese keine Eigenfunktion.
Das zugehörige Potenzial
für
. Also KEIN Parabelpotenzial !
Die Randbedingungen seien
.
Die Forderung
kann zu jedem E erfüllt werden. Und zwar durch Linearkombination zweier linear unabhängiger Lösungen.
Im Allgemeinen ist dann jedoch
. Verschiebt man E so, dass auch
, so trifft man die speziellen, diskreten Eigenwerte. zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Rand ins Innere wandern.
Speziell: Symmetrische Potenziale:
Bei symmetrischen Potenzialen:
sind die Eigenfunktionen abwechselnd von gerader Parität, also symmetrisch:
und antisymmetrisch ( von ungerader Parität):
.
Dies kann für Entartung und Nichtentartung gezeigt werden.
In diesem Fall existiert ein Kontinuum von Streuzuständen ( nicht entartet). Die Welle läuft von rechts ein:
Beispiel mit Potenzialstufe:
Linke Seite:
Die asymptotische Lösung lautet
Aber:
divergiert und ist somit unphysikalisch:
![{\displaystyle \phi (x){\tilde {\ }}{{e}^{-Mx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee51fab79ccf93f5075f31d6e91441e41277e09)
Rechte Seite:
Die asymptotische Lösung lautet
Die Lösung oszilliert also asymptotisch.
: Ergibt ein Kontinuum von Streuzuständen ( 2- fach entartet). Die Welle läuft in diesem Fall von links oder von rechts ein, da die Energie auf beiden Seiten höher als das Potenzial ist. Alle Lösungen oszillieren !
Zeige
Nicht entartete Eigenfunktionen sind ( bis auf einen trivialen Faktor) reell !