Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):
![{\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar {\dot {\Psi }}({\bar {r}},t)={\hat {H}}\Psi ={\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)}^{2}}\Psi ({\bar {r}},t)+V\Psi ({\bar {r}},t)\\&V=e\Phi \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2711fa73d63788f818f5c46ac296643f33b74c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar {\dot {\Psi }}({\bar {r}},t)={\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)\Psi ({\bar {r}},t)+V\Psi ({\bar {r}},t)\\&={\frac {1}{2m}}\left[-{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi +i\hbar e\nabla \left({\bar {A}}\Psi \right)+i\hbar e{\bar {A}}\left(\nabla \Psi \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi \right]+V\Psi ({\bar {r}},t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84524e8eefd26367c93ec17abd24c62d8d4e0109)
Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von
![{\displaystyle {\bar {A}}({\bar {r}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9ab5b72f3dc083c39e4fc7243a07602a00336c)
Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:
![{\displaystyle i\hbar {\dot {\Psi }}*({\bar {r}},t)={\frac {1}{2m}}\left[-{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi *-i\hbar e\nabla \left({\bar {A}}\Psi *\right)-i\hbar e{\bar {A}}\left(\nabla \Psi *\right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi *\right]+V\Psi *({\bar {r}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab85e605c8e207698a071cd07b7cefbe8eef56fe)
Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ({\bar {r}},t)\Psi *({\bar {r}},t)\right)=\Psi *({\bar {r}},t)i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\bar {r}},t)+\Psi ({\bar {r}},t)i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi *({\bar {r}},t)\\&i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}=i\hbar \left(\Psi *({\bar {r}},t){\dot {\Psi }}({\bar {r}},t)+{\dot {\Psi }}*({\bar {r}},t)\Psi ({\bar {r}},t)\right)=\Psi *{\hat {H}}\Psi -\Psi ({\hat {H}}\Psi )*\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18835d5ee937498588a0cb64e3eb9e624d61f96f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\left(\Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *\right)+{\frac {{e}^{2}}{2m}}\left[\Psi *{{\bar {A}}^{2}}\Psi -\Psi {{\bar {A}}^{2}}\Psi *\right]+\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi *\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad +{\frac {i\hbar e}{2m}}\left(\Psi *\nabla \left({\bar {A}}\Psi \right)+{\bar {A}}\Psi \nabla \Psi *+\Psi \nabla \left({\bar {A}}\Psi *\right)+{\bar {A}}\Psi *\nabla \Psi \right)\\&\Psi *{{\bar {A}}^{2}}\Psi -\Psi {{\bar {A}}^{2}}\Psi *=0\\&\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi *=0\\&\Psi *\nabla \left({\bar {A}}\Psi \right)+{\bar {A}}\Psi \nabla \Psi *=\Psi \nabla \left({\bar {A}}\Psi *\right)+{\bar {A}}\Psi *\nabla \Psi =\nabla \left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\\&\Rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\left(\Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *\right)+{\frac {i\hbar e}{m}}\nabla \left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\\&\Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *=\nabla \left(\Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi *\right)-\left(\nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi *\right)\\&\left(\nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi *\right)=0\\&\Rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\nabla \left(\Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi *\right)+{\frac {i\hbar e}{m}}\nabla \left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\\&\Rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}=\nabla \left[{\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\left(\Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi *\right)+{\frac {i\hbar e}{m}}\left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e932000b558ef3e2ebf6607bfd946c3ad97a9995)
Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}+\nabla \cdot {\bar {j}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33e614e184540da1357cd4fe13d9bf29cd15a82)
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi *\right)-{\frac {e}{m}}\left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\\&={\frac {1}{2m}}\left\{\Psi *\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)\Psi +\Psi \left(-{\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)\Psi *\right\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6474c32986f5d842487dcdd2da82300e6ff1867a)
Denn:
Wenn die Kontinuitätsgleichung
erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben !
Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit !
Dabei bezeichnet man
als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm
ergänzt wird
![{\displaystyle {\bar {j}}={\frac {1}{2m}}\left\{\Psi *{{\hat {\bar {P}}}_{kin}}\Psi +\Psi \left({{\hat {\bar {P}}}_{kin}}\Psi \right)*\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e724345fbf385809c723548cbafc34a9896fe55a)
Mit dem kinetischen Impulsoperator
![{\displaystyle {{\hat {\bar {P}}}_{kin}}:={\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54eeac9597e7d037f41cc23c87288ae68a6939b7)
Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert !
Bemerkungen
- Neben dem kanonischen Impulsoperator:
, wobei klassisch
haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator
zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator
zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator
NICHT die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.
Also:
und
- Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung
mit ![{\displaystyle {\bar {j}}={\frac {1}{2}}\left\{\Psi *{\hat {\bar {v}}}\Psi +\Psi \left({\hat {\bar {v}}}\Psi \right)*\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf21afab5757db19b6a8854d98d9dec167244e52)
Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:
mit ![{\displaystyle {\bar {j}}=\rho \cdot {\bar {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3198194129f52e0861ad9821ad7372cf9a907271)
Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form
wählen, da hier
oder
nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?)
- In
ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten !
Nur in der Coulomb- Eichung
gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\hat {\bar {p}}}{\bar {A}}+{\bar {A}}{\hat {\bar {p}}}\right)\Psi ={\frac {\hbar }{i}}\left[\nabla \left({\bar {A}}\Psi \right)+{\bar {A}}\left(\nabla \Psi \right)\right]={\frac {\hbar }{i}}\left[\left(\nabla \cdot {\bar {A}}\right)\Psi +2{\bar {A}}\left(\nabla \Psi \right)\right]\\&\nabla \cdot {\bar {A}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e4ef07f055166e0466e0585259cd82da6b21f1)
Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:
![{\displaystyle \left({\hat {\bar {p}}}{\bar {A}}+{\bar {A}}{\hat {\bar {p}}}\right)\Psi =2{\bar {A}}{\hat {\bar {p}}}\Psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a5344962a7ee59e3a3ab2ea48334e3e8f64887)
Also in diesem Fall:
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{{\left({\hat {\bar {p}}}-e{\bar {A}}({\hat {\bar {r}}},t)\right)}^{2}}={\frac {1}{2m}}\left({{\hat {\bar {p}}}^{2}}-2e{\bar {A}}{\hat {\bar {p}}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1698de4137dc9305602566091d6a18051a2196c7)
Merke: Die Coulombeichung bringt
und
zum Vertauschen !
- Im Gaußschen Maßsystem gilt:
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{{\left({\hat {\bar {p}}}-{\frac {e}{c}}{\bar {A}}\right)}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c0dd64d5ab65901572c8220704514a9d362bf3)