Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
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Kräftefreie Schrödingergleichung[edit | edit source]
(Keine äußeren Potenziale)
Die Bewegungsgleichung für die Materiewellenfunktion
![{\displaystyle \Psi ({\bar {r}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22903c55fd3b6924863448000c94ca8c4c6cbdc4)
soll die folgenden Postulate erfüllen:
- Sie soll eine DGL 1.Ordnung in der zeit sein, damit
durch die Anfangsverteilung
bestimmt ist ( der qm. Zustand ist vollständig durch
festgelegt).
- Sie soll linear in
sein, damit das Superpositionsprinzip gilt.
- Außerdem soll sie homogen sein.
- Durch das Superpositionsprinzip sind Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen. Damit werden die Interferenzeffekte mathematisch greifbar.
- Die Gleichung soll keine speziellen Bewegungsgrößen wie
enthalten. Nur so können Wellenpakete durch Überlagerung verschiedener
Werte gebildet werden.
- Ebene Wellen:
mit
sollen Lösung sein. Dabei gilt
wegen des Zusammenhangs ![{\displaystyle E=\hbar \omega ,p=\hbar k,E={\frac {{p}^{2}}{2m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e525327fba268901321f8b3258efa7a4e0fe25eb)
Somit auch für Photonen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&E=pc=\hbar \omega ,p=\hbar k\\&\Rightarrow {\frac {\omega }{k}}=c\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6445717c1480588b8c5885afa7c77c0929dd4fec)
Also ergibt sich:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-i\omega \Psi =-i\hbar {\frac {{k}^{2}}{2m}}\Psi ={\frac {i}{\hbar }}{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta \Psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da3ffcf1c2952b392bf42c971615ba3dd055523)
Also:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta \Psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8111420331408c9873cd81538cd31f742f7a3701)
Dies ist die freie, zeitabhängige Schrödingergleichung
Bemerkungen
- Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion
:
ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort
zu finden.
wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase. Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar.
ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
- Normierung:
![{\displaystyle \int _{V}^{}{}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}{{d}^{3}}r=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d4f5a41f38b51869357ecc49ae3286a869db78)
- Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf
ist auch der zeitumgekehrte
ein physikalisch möglicher Vorgang:
Die Transformationsvorschrift lautet:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t->-t\\&i->-i\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90372e53df1d6111ec467124c815729d487a4cda)
Also:
![{\displaystyle \Psi ({\bar {r}},t)\to \Psi *({\bar {r}},-t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088b3351ef42158b320d47aa9ab9a0d1461ef8fd)
Beweis:
werde gelöst von ![{\displaystyle \Psi ({\bar {r}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22903c55fd3b6924863448000c94ca8c4c6cbdc4)
Die ganze Gleichung kann natürlich komplex konjugiert werden:
![{\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi *=-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta \Psi *}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2c7765e50267be44d1007e637d1967efabf110)
Ersetzt man nun t durch -t, so folgt:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi *({\bar {r}},-t)=-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta \Psi *({\bar {r}},-t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b61b60a03320651361484b17c0a4f8c22a7e76)
Also:
Mit
ist auch
Lösung der Schrödingergleichung
Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt !
miniatur
Ebene Wellen der Form
![{\displaystyle \Psi ({\bar {r}},t)=C{{e}^{i(kx-\omega t)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e17b450ae1f8616c230f6b1a30e092ba4e10fd)
haben eine räumlich homogene Wahrscheinlichkeitsdichte |C|², falls dieser Vorfaktor nicht vom Ort abhängt ( im Gegensatz zu Kugelwellen).
Die Phase verschwindet bei Betragsbildung völlig!
Lokalisierte Zustände können grundsätzlich durch die Superposition ebener Wellen dargestellt werden:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Psi ({\bar {r}},t)=\int _{}^{}{{\tilde {\Psi }}({\bar {k}})}{{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t)}}{{d}^{3}}k\\&\omega ({\bar {k}})={\frac {\hbar {{k}^{2}}}{2m}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ca98bc0364a3979bc198f529b9fccc2a073f59)
Man kann sich derartige Wellenpakete veranschaulichen:
eindimensional:
Die Phase kx-w(k)t kann nun um k=ko entwickelt werden:
![{\displaystyle \omega ({\bar {k}})=\omega ({{k}_{0}})+{{\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|}_{{k}_{0}}}(k-{{k}_{0}})+....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6275167d5da7efe28fb8d9fe2e339b816d39429)
Dabei sei:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\omega ({{k}_{0}}):={{\omega }_{0}}\\&(k-{{k}_{0}}):=k{\acute {\ }}\\&{{\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|}_{{k}_{0}}}={{v}_{g}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4536342fb3f5c4da2d6e42b324aee108770147)
Somit folgt für obige Wellenfunktion ( unser Paketchen):
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Psi ({\bar {r}},t)=\int _{}^{}{dk{\acute {\ }}{\tilde {\Psi }}({{k}_{0}}+k{\acute {\ }})}{{e}^{i\left[({{k}_{0}}+k{\acute {\ }})x-({{\omega }_{0}}+{{v}_{g}}k{\acute {\ }})t\right]}}\\&\Psi ({\bar {r}},t)={{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}\int _{}^{}{dk{\acute {\ }}{\tilde {\Psi }}({{k}_{0}}+k{\acute {\ }})}{{e}^{ik{\acute {\ }}\left[x-{{v}_{g}}t\right]}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a98bd0f9a5621ec866503dd01d1915837779af9)
Dabei stellt
![{\displaystyle {{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5062ee01cf7ac1269fa72c768a92256f4b05da67)
ein Trägerwelle mit der Phasengeschwindigkeit
![{\displaystyle {{v}_{Ph}}={\frac {{\omega }_{0}}{{k}_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c21ccabdc3b17e302c659620510f5ba0d6f21f)
dar und
![{\displaystyle \int _{}^{}{dk{\acute {\ }}{\tilde {\Psi }}({{k}_{0}}+k{\acute {\ }})}{{e}^{ik{\acute {\ }}\left[x-{{v}_{g}}t\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610fde0969219e62163db5cec2191ac11e435b49)
repräsentiert eine Einhüllende A(x,t), die langsam zeit- und ortsveränderlich ist, da ja nur die Terme mit
![{\displaystyle \left|k{\acute {\ }}\right|<<{{k}_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfab70c3b828b341ae7a7f09d461959added95d4)
nennenswerte Beiträge zum Integral liefern.
Wegen der Taylorentwicklung ,macht dieser Schritt jedoch nur Sinn für Systeme, die um k0 lokalisiert sind ! Also für impulsmäßig lokalisierte Systeme ( endliche Farbbandbreite eines Lichtpulses etc...).
Grafisch:
Bewegung der Einhüllenden:
Setze:
![{\displaystyle A(x,t)=\int _{}^{}{dk{\acute {\ }}{\tilde {\Psi }}({{k}_{0}}+k{\acute {\ }})}{{e}^{ik{\acute {\ }}\left[x-{{v}_{g}}t\right]}}=const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63946e2fb0783223cce92a317d4ecb51136a9e8b)
Dies gilt jedoch nur infinitesimal. Man kann jedoch das MAXIMUM von A(x,t) wählen:
![{\displaystyle dA(x,t)={\frac {\partial A(x,t)}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A(x,t)}{\partial t}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06bfe8fe131347d388c43282b38caa608c18c8f)
![{\displaystyle dA(x,t)=\int _{}^{}{dk{\acute {\ }}{\tilde {\Psi }}({{k}_{0}}+k{\acute {\ }})}{{e}^{ik{\acute {\ }}\left[x-{{v}_{g}}t\right]}}\left\{ik{\acute {\ }}dx-ik{\acute {\ }}{{v}_{g}}dt\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54640cbc94fe9c22939beb252883bfd7d44f535)
Dies jedoch bedingt:
![{\displaystyle \left\{ik{\acute {\ }}dx-ik{\acute {\ }}{{v}_{g}}dt\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16983ed6834850087ac156e8a6c96899674a3874)
Also:
![{\displaystyle dx={{v}_{g}}dt\Rightarrow {{\left.{\frac {dx}{dt}}\right|}_{A=const}}={{v}_{g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb4bfcaa42c5f1137af8005bd64c7206edbea26)
Jedenfalls bewegt sich der Schwerpunkt mit der Gruppengeschwindigkeit vg
![{\displaystyle {{v}_{g}}={{\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|}_{{k}_{0}}}={\frac {\hbar {{k}_{0}}}{m}}={\frac {{p}_{0}}{m}}=v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ade7e0b46e82112e256ff0a0bfc35d84da2cf44)
als klassische Teilchengeschwindigkeit
Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden:[edit | edit source]
Sei t=0
![{\displaystyle \Psi (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }{dk{\tilde {\Psi }}(k)}{{e}^{ikx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9745600b8b926572c2eb08c647b59c9c044c3e)
Dies ist gerade die Fourierdarstellung mit der Fourier- Transformierten
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (k)={\sqrt {2\pi }}{\tilde {\Psi }}(k):\\&\Phi (k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{dx\Psi (x,0)}{{e}^{-ikx}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3756b15ade0cead9a40a5e5486b0470ea5a54649)
Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation.
Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func)[edit | edit source]
![{\displaystyle {\tilde {\Psi }}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-{\frac {\Delta x}{2}}}^{\frac {\Delta x}{2}}{dx{{e}^{-ikx}}=}{\frac {1}{2\pi }}\left.{\frac {{e}^{-ikx}}{-ik}}\right|_{-{\frac {\Delta x}{2}}}^{\frac {\Delta x}{2}}={\frac {\Delta x}{2\pi }}{\frac {\sin \left(k{\frac {\Delta x}{2}}\right)}{k{\frac {\Delta x}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74cba651f6d97c68ababe3e3b68575f4dfe7e94)
Die Fouriertransformierte der Rec- Funktion ist als die Sincfunktion mit der inversen Breite der Spaltfunktion.
Denn:
![{\displaystyle \sin \left(k{\frac {\Delta x}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760d51065f757dcfb4fb4491273e5dc231b21454)
moduliert im k- Raum entsprechend schnell, wenn die Konstante
![{\displaystyle \Delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3890eb866b6258d7a304fc34c70ee3fb3a81a70)
entsprechend groß ist !
Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten:
![{\displaystyle {{v}_{Ph}}={\frac {{\omega }_{}}{k}}={\frac {\hbar k}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bcf18e96406c0e2306f8fdaa262406e3ccdfe5)
Grund ist die nichtlineare Dispersionsbeziehung
![{\displaystyle \omega (k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb1537a1f4d4185fe800d4682abd78bdab60402)
Das quantenmechanische Wellenpaket zeigt nun bereits im kräftefreien Fall Dispersion (Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen im Vakuum).
Das heißt, beispielsweise ein lokalisiertes Gauß- Paket „zerfließt " bei Ausbreitung mit der Gruppengeschwindigkeit vg.
Dies muss im Sinne von Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. (Interessantes Argument gegen Befürworter einer Theorie von Materiedichte: Das Auseinanderlaufen des Paketes wäre ein Widerspruch zur Stabilität der Materie !) Es handelt sich um eine Verbreiterung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und nicht um ein Zerfließen von Materie !!
Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !!
Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!
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