Lagrangegleichungen 2. Art

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

65px|Kein GFDL

Der Artikel Lagrangegleichungen 2. Art basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}$

Linke Seite:

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{}\left(\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}}\right)\delta {{q}_{j}}=\sum \limits _{j}{}\sum \limits _{i}^{}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}_{}}$ Mit ${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$ und ${{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}$

Beweis für die letzte Deduktion:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\&{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left\{\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right\}=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\\end{aligned}}$

Somit ergibt sich für die linke Seite

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i,j}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}}$

Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte Kinetische Energie{{#set:Fachbegriff=Kinetische Energie|Index=Kinetische Energie}} auszudrücken:

$T=\sum \limits _{i}{{\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}}$

${\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\\end{aligned}}$

Somit folgt:

$\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}=\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right)-\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)\right\}$

${\begin{aligned}&\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\\&\Rightarrow \sum \limits _{j}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}\right\}\delta {{q}_{j}}=0}\\\end{aligned}}$

Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in $q_{j}$ völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes $q_{j}$ ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}T\right)={{Q}_{k\quad \quad k=1,....,f}}\\\end{aligned}}$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}T\right)={Q}_{k}\quad \quad k=1,....,f$ heißt Lagrange- Gleichungen 2. Art

{{#set:Definition=Lagrange- Gleichungen 2. Art|Index=Lagrange- Gleichungen 2. Art}}

Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für holonome Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für holonome Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten{{#set:Fachbegriff=generalisierte Koordinaten|Index=generalisierte Koordinaten}} definiert werden können:

Spezialfall konservative Kräfte

${\begin{aligned}&-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}\\&V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)=V({{\vec {r}}_{1}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t),...,{{\vec {r}}_{N}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t))\\\end{aligned}}$

Dies bedingt jedoch:

${\frac {\partial V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0$

Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:

$L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=L({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=T-V$

Es folgt:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0$

Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte!

Anmerkung:

• die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
• L=T-V ist nur eine mögliche Form
• ${\begin{aligned}&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left(\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial t}}}\right)}^{2}}}\\&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=a+\sum \limits _{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}}+\sum \limits _{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{\dot {q}}_{k}}{{\dot {q}}_{l}}}\\\end{aligned}}$
• Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine homogene Bilinearform in

${{\dot {q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)$

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

MISSING

Die Atwoodsche Fallmaschine Generalisierte Koordinate: q ${\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}({{m}_{{1}_{}}}+{{m}_{2}}){{\dot {q}}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g\\&{\frac {\partial L}{\partial q}}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g\\&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\dot {q}}\\&({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\ddot {q}}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0\\&\\\end{aligned}}$

Beispiel 2: miniatur|Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung). Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung). Generalisierte Koordinate q ist der Winkel $\phi$ ${\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)=0\\&L={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\\end{aligned}}$ Dahin kommt man im Übrigen aus: ${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}})\\&x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi \\&{\dot {x}}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct){\dot {\phi }}\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct){\dot {q}}\sin q\\&y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi \\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\dot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\ddot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}-2cm{\dot {q}}({{R}_{o}}^{}-ct)\\&\Rightarrow {\ddot {q}}({{R}_{o}}-ct)=2c{{\dot {q}}^{}}\\\end{aligned}}$ Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden: ${\begin{aligned}&{\frac {\dot {\omega }}{\omega }}={\frac {2c}{{{R}_{o}}-ct}}\\&\int {{\frac {d\omega }{\omega }}=2c\int {\frac {dt}{{{R}_{o}}-ct}}}\\&\ln \omega =-2\ln({{R}_{o}}-ct)+const\\&\ln \omega =\ln {\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\&\omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\\end{aligned}}$ Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert: Drehimpuls: ${\begin{aligned}&{\vec {L}}=m{\vec {v}}\times {\vec {r}}\\&{{\vec {L}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}}\\&andererseits:\\&{{\omega }_{o}}={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}})}^{2}}}\\&\Rightarrow \omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con{\tilde {s}}={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m}}\\&\omega ={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}}={\dot {q}}\\\end{aligned}}$ Durch Integration gewinnt man: $q={{q}_{o}}+{\frac {{\vec {L}}_{o}}{cm({{R}_{o}}-ct)}}$ Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)