Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
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Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie
Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904). Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
Für Lorentz- Transformationen !
Formalisierung: Der Raumzeitliche Abstand als
Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein. Dann schreibt man als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:
In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
kontravariante Komponenten:
als Komponenten des Ortsvektors
kovariante Komponenten
kovarianter Vektor , dualer Vektorraum zu V ! Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten -> als Raum der linearen Funktionale l:
Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !
Schreibe
Mit: Summenkonvention ! über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !
Physikalische Anwendung
Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt schreiben !
Beispiel: dÁlemebert- Operator:
Vierergeschwindigkeit
Physikalische Interpretation
Viererimpuls
Also:
Mit der Energie
Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:
Der metrische Tensor
Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:
Wichtig fürs Skalarprodukt:
Lorentz- Trafo
zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo
die Lorentz- Transformation für
Nämlich:
Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):
U ist orthogonale Trafo:
Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist Bzw. Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !
Umkehr- Transformation:
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Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum
( Erregungsgleichungen)
- Komponente
Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:
Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !
Bemerkungen
- die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz
automatisch erfüllt:
Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen
folgt mit Lorentz- Eichung
als inhomogene Wellengleichung
Die Maxwellgleichungen
sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind. Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!
Gauß- System:
Relativistisches Hamiltonprinzip
Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie
Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:
letzteres: Wirkungsintegral Wichtig:
Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:
Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld
mit den Lorentz- Invarianten
und
Variation:
Nun:
Außerdem:
Somit:
Weiter mit partieller Integration:
Weiter:
Mit
Einsetzen in
liefert:
Wegen
Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.
Man setze:
Man bestimmt die Ortskomponenten über
überein, denn mit
folgt dann:
mit
Die zeitartige Komponente gibt wegen
Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit
Eichinvarianz und Ladungserhaltung
Wirkungsintegral:
Dabei:
( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)
Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte
Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!
dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!
Bemerkungen:
folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=
ein Vier- Vektor ist, da Lorentz- Skalare sind und natürlich selbst auch ein Vierervektor