Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Elektrodynamik
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Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie
Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
Für Lorentz- Transformationen !
Formalisierung:
Der Raumzeitliche Abstand als
Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
Dann schreibt man
als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:
In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
kontravariante Komponenten:
als Komponenten des Ortsvektors
kovariante Komponenten
kovarianter Vektor
, dualer Vektorraum zu V !
Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
->
als Raum der linearen Funktionale l:
Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !
Schreibe
Mit: Summenkonvention !
über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !
Physikalische Anwendung
Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
schreiben !
Beispiel: dÁlemebert- Operator:
Vierergeschwindigkeit
Physikalische Interpretation
Viererimpuls
mit der Ruhemasse m0
Also:
Mit der Energie
Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:
Der metrische Tensor
Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:
Wichtig fürs Skalarprodukt:
Lorentz- Trafo
zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo
die Lorentz- Transformation für
Nämlich:
Mit
für
Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):
U ist orthogonale Trafo:
Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
Bzw.
Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !
Umkehr- Transformation:
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Elektrodynamik
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Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum
( Erregungsgleichungen)
![{\displaystyle \nabla \times {\bar {B}}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}={{\mu }_{0}}\left(\nabla \times {\bar {H}}-{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}\right)={{\mu }_{0}}{\bar {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5508c9a15d16fd2af24e05a4fb110652eda67c8)
- Komponente
Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:
Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !
Bemerkungen
- die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz
automatisch erfüllt:
Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen
folgt mit Lorentz- Eichung
als inhomogene Wellengleichung
Die Maxwellgleichungen
sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!
Gauß- System:
Relativistisches Hamiltonprinzip
Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie
Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:
letzteres: Wirkungsintegral
Wichtig:
Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:
Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld
mit den Lorentz- Invarianten
und
Variation:
Nun:
Außerdem:
Somit:
Weiter mit partieller Integration:
Weiter:
Mit
Einsetzen in
liefert:
Wegen
Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.
Man setze:
Man bestimmt die Ortskomponenten
über
überein, denn mit
folgt dann:
mit
Die zeitartige Komponente
gibt wegen
Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit
Eichinvarianz und Ladungserhaltung
Wirkungsintegral:
Dabei:
( Teilchen)
( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)
Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte
Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!
dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!
Bemerkungen:
![{\displaystyle d\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a77777df83cbdbf96f0eaa6e74ba90eba9ce43b)
- ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen
erhalten bleibt.
2) Aus
folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=
ein Vier- Vektor ist, da
Lorentz- Skalare sind und natürlich
selbst auch ein Vierervektor
![{\displaystyle {{\mu }^{2}}{\frac {d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{\left(dt\right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left(\mu {\frac {ds}{dt}}\right)}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47eb456b43a19e058373d319f9c9204c373f6508)
- ist Lorentz - Invariant.
Also
ist Lorentz- Invariant. Also auch
.
Somit ist
insgesamt Lorentz- Invariant !