Die Maxwell-Gleichungen

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

65px|Kein GFDL

Der Artikel Die Maxwell-Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder

Methode: Erweiterung der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen derart, dass allgemeine Invarianz- Prinzipien erfüllt sind !

Invarianz- Prinzipien sind / können sein:

3.1 TCP- Invarianz

Zeitumkehr T: t -> t´=-t Ladungsumkehr / Konjugation : C : Q  Q´= - Q Paritätsumkehr P : r - > r´= -r ( für den Ortsvektor)

Die Zeitumkehr- Transformation

$\begin{array}{ll}& T_g:=\{T-in\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}ianteObservableA:TA=A\}\\ & =\{\overline{r},d\overline{r},a:=\frac{d^2\overline{r}}{d{t}^2},m,q,\rho :=\begin{array}{c}\lim \\ \mathrm{\Delta }V\to 0\\ \end{array}\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }V},\overline{F}=m\overline{a},\overline{E}=\frac{\overline{F}}{q},\mathrm{\Phi }...\}\\ \end{array}$ Diese Observablen sind "gerade" unter T

Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:

$T_u:=\{A:TA=-A\}=\{\overline{v}:=\frac{d\overline{r}}{dt},\overline{j}=\rho \overline{v},\overline{B},\overline{A}\}$

Denn:

$\begin{array}{ll}& \overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}\\ & \overline{F}\in T_g,\overline{v}\in T_u,q\in T_g\Rightarrow \overline{B}\in T_u\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A},\mathrm{\nabla }\in T_g\\ \end{array}$

Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:

$\begin{array}{ll}& T:\{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\to \{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\\ & T:\{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\to \{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\\ & T:\{{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\to \{-{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\iff \{{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\\ & T:\{\mathrm{\nabla }\times \overline{B}={\mu }_0\overline{j}\}\to \{-\mathrm{\nabla }\times \overline{B}=-{\mu }_0\overline{j}\}\\ & \\ \end{array}$

Kontinuitätsgleichung:

$T:\{\frac{\partial }{\partial t}\rho +{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}\to \{-\frac{\partial }{\partial t}\rho -{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}$

Die Gleichungen sind FORMINVARIANT !

Ladungsumkehr ( Konjugation)

$\begin{array}{ll}& C_g:=\{C-in\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}ianteObservableA:CA=A\}\\ & C_g=\{\overline{F},m,\overline{r},\overline{v},\overline{a}\}\\ \end{array}$

sind gerade unter C Ungerade unter c sind:

$\begin{array}{ll}& C_u:=\{A:CA=-A\}=\{\overline{E}=\frac{1}{q}\overline{F},\overline{B},\overline{j},\rho \}\\ & \overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}\\ \end{array}$

• C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:

$\begin{array}{ll}& C:\{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\to \{-{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\\ & C:\{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\to \{-{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=-\rho \}\\ & C:\{{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\to \{-{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\\ & C:\{\mathrm{\nabla }\times \overline{B}={\mu }_0\overline{j}\}\to \{-\mathrm{\nabla }\times \overline{B}=-{\mu }_0\overline{j}\}\\ \end{array}$

$C:\{\frac{\partial }{\partial t}\rho +{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}\to \{-\frac{\partial }{\partial t}\rho -{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}$

Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion

Vertauschung: rechts <-> links

Man unterscheidet:

$P\overline{r}=-\overline{r}$ -> polarer Vektor und

$P(\overline{a}\times \overline{b})=(-\overline{a}\times -\overline{b})=(\overline{a}\times \overline{b})$ P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor !!

Seien:

$\overline{a},\overline{b}$ polar, $\overline{w},\overline{\sigma }$ axial Dann ist

$\begin{array}{ll}& \overline{a}\times \overline{w}polar\\ & \overline{a}\times \overline{b},\overline{w}\times \overline{\sigma }axial\\ & \overline{a}\overline{b}skalar:P(\overline{a}\overline{b})=\overline{a}\overline{b}\\ & \overline{w}\overline{\sigma }pseudoskalarP(\overline{w}\overline{\sigma })=-\overline{w}\overline{\sigma }\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& C_g:=\{C-in\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}ianteObservableA:CA=A\}\\ & C_g=\{\overline{F},m,\overline{r},\overline{v},\overline{a}\}\\ \end{array}$

Wegen

$\begin{array}{ll}& \overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}\\ & \overline{F}\in P_u\\ & q\in P_g\\ & \overline{v}\in P_u\\ \end{array}$

ungerade Parität dagegen:

$P_u=\{polareVektoren,\overline{r},d\overline{r},\overline{v},\overline{a},\overline{F},\overline{E}=\frac{1}{q}\overline{F},\overline{j}=\rho \overline{v},\overline{A},Pseudoskalare\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}\}$

Wegen

$\begin{array}{ll}& \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\\ & \mathrm{\nabla }\in P_u\\ & \overline{B}\in P_g\\ \end{array}$

P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:

$\begin{array}{ll}& P:\{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\to \{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\\ & P:\{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\to \{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\\ & P:\{{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\to \{-{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\\ & P:\{\mathrm{\nabla }\times \overline{B}={\mu }_0\overline{j}\}\to \{-\mathrm{\nabla }\times \overline{B}=-{\mu }_0\overline{j}\}\\ \end{array}$

$P:\{\frac{\partial }{\partial t}\rho +{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}\to \{\frac{\partial }{\partial t}\rho +{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}$

Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare Außerdem ( Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!

Maxwell- Gleichungen im Vakuum

Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder $\overline{E}(\overline{r},t),\overline{B}(\overline{r},t)$ lauten: 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\\ & {\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}-\rho =0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\overline{j}=0\\ \end{array}$

2) die Gleichungen sollen linear in $\overline{E}(\overline{r},t),\overline{B}(\overline{r},t)$ sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen ! Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !)

Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !!

Somit sind

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=a_1\dot{\overline{E}}+b_1\dot{\overline{B}}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\overline{j}=a_2\dot{\overline{E}}+b_2\dot{\overline{B}}\\ & {\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}-\rho =0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

Dies sind 6 Vektorgleichungen, die $\overline{E}(\overline{r},t),\overline{B}(\overline{r},t)$ für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen

3) Wir fordern TCP- Invarianz:

$\begin{array}{ll}& T_{g}oder{P}_g\Rightarrow a_1=0\\ & T_{u}oder{P}_u\Rightarrow b_2=0\\ \end{array}$

Also bleibt:

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=b_1\dot{\overline{B}}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\overline{j}=a_2\dot{\overline{E}}\\ & {\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}-\rho =0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

4) Ladungserhaltung:

$\begin{array}{ll}& 0=\frac{\partial }{\partial t}({\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}-\rho )={\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \dot{\overline{E}}-\dot{\rho }=\frac{{\epsilon }_0}{a_2}\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\overline{j})-\dot{\rho }\\ & \frac{{\epsilon }_0}{a_2}\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times \overline{B}=0\\ & \Rightarrow \frac{{\epsilon }_0}{a_2}\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mu }_0\overline{j}\right)-\dot{\rho }=0\\ & \Rightarrow a_2={\epsilon }_0{\mu }_0\\ \end{array}$

Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung ! Somit ( vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte ${\epsilon }_0\dot{\overline{E}}$

5) Lorentzkraft

$\overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}$ soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein. Suche also eine Lagrange- Funktion

$L(\overline{r},\overline{v},t)$ so dass die Lagrangegleichung

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}\right)-\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial x_k}=0$

die nichtrelativistische Bewegungsgleichung

$m\ddot{\overline{r}}=q[\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{v}\times \overline{B}(\overline{r},t)]$

ergibt !

Lösung:

$L=\frac{m}{2}{v}^2+q[\overline{v}\overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)]$

Tatsächlich gilt

$p_k=\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}=m{v}_k+q{A}_k(\overline{r},t)$ = kanonischer Impuls

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}=m{\ddot{x}}_k+q\frac{d}{dt}{A}_k(\overline{r},t)$

Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn $\overline{r}$ zu sehen !

$\begin{array}{ll}& \frac{d}{dt}\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}=m{\ddot{x}}_k+q(\frac{\partial }{\partial t}{A}_k(\overline{r},t)+\frac{\partial A_k(\overline{r},t)}{\partial x_l}\frac{\partial x_l}{\partial t})=m{\ddot{x}}_k+q(\frac{\partial }{\partial t}+\overline{v}\cdot \mathrm{\nabla })A_k(\overline{r},t)\\ & \frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial x_k}=q[\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\overline{v}\overline{A}\right)-\frac{\partial }{\partial x_k}\mathrm{\Phi }]\\ & \Rightarrow 0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}-\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial x_k}=m{\ddot{x}}_k+q(\frac{\partial }{\partial t}+\overline{v}\cdot \mathrm{\nabla })A_k(\overline{r},t)-q[\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\overline{v}\overline{A}\right)-\frac{\partial }{\partial x_k}\mathrm{\Phi }]\\ & =m{\ddot{x}}_k+q\frac{\partial }{\partial t}{A}_k(\overline{r},t)+q[(\overline{v}\cdot \mathrm{\nabla })A_k(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\overline{v}\overline{A}\right)]+q\frac{\partial }{\partial x_k}\mathrm{\Phi }\\ & [(\overline{v}\cdot \mathrm{\nabla })A_k(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\overline{v}\overline{A}\right)]=-{[\overline{v}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A})]}_k\\ & \Rightarrow 0=m\ddot{\overline{r}}+q\frac{\partial }{\partial t}A(\overline{r},t)-q[\overline{v}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A})]+q\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=m\ddot{\overline{r}}+q[\frac{\partial }{\partial t}A(\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-[\overline{v}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A})]]\\ \end{array}$

Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:

$\begin{array}{ll}& \overline{E}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}A(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times A(\overline{r},t)\\ \end{array}$

und:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\nabla }\times \overline{E}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times A(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \mathrm{\nabla }\times A(\overline{r},t)=\overline{B}(\overline{r},t)\\ & \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=0\\ & \Rightarrow b_1=-1\\ \end{array}$

Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum

mit den neuen Feldgrößen

$\overline{D}(\overline{r},t):={\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)$ dielektrische Verschiebung und

$\overline{H}(\overline{r},t):=\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}(\overline{r},t)$ , Magnetfeld ergibt sich:

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}+\dot{\overline{B}}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{D}=\rho \\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{H}-\dot{\overline{D}}=\overline{j}\\ \end{array}$

Dabei sind

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}+\dot{\overline{B}}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$ die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern $\overline{E},\overline{B}$ beschreiben und

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{D}=\rho \\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{H}-\dot{\overline{D}}=\overline{j}\\ \end{array}$ die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder $\overline{D},\overline{H}$ durch gegebene Ladungen und Ströme

Im Gauß- System:

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}+\frac{1}{c}\dot{\overline{B}}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=4\pi \rho \\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{B}-\dot{\overline{E}}=\frac{4\pi }{c}\overline{j}\\ \end{array}$

Mit

$\begin{array}{ll}& \overline{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\\ & \overline{D}=\overline{E}\\ & \overline{H}=\overline{B}\\ \end{array}$

im Vakuum !

Induktionsgesetz

Die Maxwellgleichung

${\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=-\dot{\overline{B}}$ wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand $\partial F$ integriert:

$\begin{array}{ll}& \underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}({\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E})=-\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\dot{\overline{B}}\\ & \Rightarrow \underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}\\ \end{array}$

Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest !

Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung

$\begin{array}{ll}& \underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(t)\\ & \mathrm{\Phi }(t)=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}=\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\cdot \overline{A}\\ \end{array}$

Der magnetische Fluß !

Der magnetische Fluß $\mathrm{\Phi }(t)$ hängt nur vom Rand $\partial F$ der Fläche ab !

Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :

$\begin{array}{ll}& \underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}-\underset{F\stackrel{´}{}}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\overline{B}=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um $\partial F$ beträgt:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }:=-\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{E}$ Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld) Somit folgt das

Faradaysche Induktionsgesetz:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=\frac{\partial }{\partial t}{\mathrm{\Phi }}_{mag}$

mit dem magnetischen Fluß

${\mathrm{\Phi }}_{mag}$

Die Lenzsche Regel:

$\begin{array}{ll}& \dot{\overline{B}}\to \overline{E}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\overline{B}\\ \end{array}$ induziert

$\overline{E}\to \overline{j}\stackrel{~}{}\overline{E}$ Ladungsverschiebung/- Bewegung

$\begin{array}{ll}& \overline{j}\to \overline{H}\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{H}=\overline{j}\\ \end{array}$ erzeugt Also: $\overline{H}$ ist $\dot{\overline{B}}$ entgegengerichtet !

Zusammenfassung

$\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(t)$ Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses: $\mathrm{\Phi }(t)=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}=\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\cdot \overline{A}$

$\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\overline{B}=0$ Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL

$\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\overline{E}=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$ Der Fluß des elektrischen Feldes durch $\partial V$ ist gleich der eingeschlossenen Ladung $\frac{Q}{{\epsilon }_0}$

$\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\cdot \overline{H}=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot \dot{\overline{D}}+I$ Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom $\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot \dot{\overline{D}}$ und dem Konvektionsstrom $I=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot \overline{j}$

Energiebilanz

Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung

$\begin{array}{ll}& \dot{\rho }+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0\\ & \dot{\rho }+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=\mathrm{\nabla }\cdot (\dot{\overline{D}}+\overline{j})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})=0\\ \end{array}$

Frage:

Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls. ( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)

Energietransport durch das elektromagnetische Feld:

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}+\dot{\overline{B}}=0|\cdot \overline{H}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{H}-\dot{\overline{D}}=\overline{j}|\cdot \overline{E}\\ & \Rightarrow \overline{H}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})-\overline{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})+\overline{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{B}+\overline{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=-\overline{j}\cdot \overline{E}\\ & \overline{H}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})-\overline{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})=\mathrm{\nabla }\cdot (\overline{E}\times \overline{H})\\ & \overline{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2{\mu }_0}{\overline{B}}^2\right)\\ & \overline{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{D}={\epsilon }_0\overline{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2\right)\\ \end{array}$

Also:

$\frac{\partial }{\partial t}w+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{S}=-\overline{j}\cdot \overline{E}$

Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport

mit

$w:=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2{\mu }_0}{\overline{B}}^2\right)+\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2\right)=\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{D}+\overline{B}\cdot \overline{H})$

Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes Remember:

Elektrostatik:

$\frac{1}{2}\overline{E}\cdot \overline{D}$

Magnetostatik:

$\frac{1}{2}\overline{B}\cdot \overline{H}$

$\overline{S}:=\overline{E}\times \overline{H}$ als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)

$\sigma =-\overline{j}\cdot \overline{E}$ als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)

$\overline{j}\cdot \overline{E}>0$ bedingt die Abnahme der Feldenergie bei $(\overline{r},t)$

$\overline{j}\cdot \overline{E}<0$ bedingt die Zunahme der Feldenergie bei $(\overline{r},t)$

Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder $\overline{E},\overline{B}$

Kraft auf die Ladung q: $\overline{F}=q(\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})$

Kraftdichte: $\overline{f}=\rho (\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})$

Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte $\rho$ folgt:

$\begin{array}{ll}& \overline{f}\overline{v}=\rho \overline{v}(\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})=\rho \overline{v}\overline{E}+\rho \overline{v}(\overline{v}\times \overline{B})\\ & \rho \overline{v}(\overline{v}\times \overline{B})=0\\ & \Rightarrow \overline{f}\overline{v}=\rho \overline{v}\overline{E}=\overline{j}\overline{E}\\ \end{array}$

Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht

Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)

Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!

Beispiel: Ohmsches Gesetz:

$\sigma \cdot \overline{E}=\overline{j}$ mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT $\sigma >0$ ( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)

Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ. Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder $\overline{E}$

Die Energiebilanz lautet:

$\frac{\partial }{\partial t}w+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{S}=-\sigma \cdot {\overline{E}}^2<0$

Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie ! Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !

Das bedeutet:

$\begin{array}{ll}& t\to -t\\ & \overline{j}\to -\overline{j}\\ & aber\\ & \overline{E}\to \overline{E}\\ \end{array}$

$\sigma \cdot {\overline{E}}^2>0$ wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert

2. Beispiel:

Antennenstrahlung ( offenes System)

$\overline{j}$ in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld $\overline{E}$ außerhalb entgegengesetzt.

$\Rightarrow \overline{j}\overline{E}<0$

$\Rightarrow$ Energiegewinn des Feldes

Impulsbilanz

Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:

$\begin{array}{ll}& \frac{\partial }{\partial t}(\overline{D}\times \overline{B})=\dot{\overline{D}}\times \overline{B}+\overline{D}\times \dot{\overline{B}}\\ & \dot{\overline{D}}=\mathrm{\nabla }\times \overline{H}-\overline{j}\\ & \dot{\overline{B}}=-\mathrm{\nabla }\times \overline{E}\\ & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}(\overline{D}\times \overline{B})=-\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{B})-\overline{j}\times \overline{B}-{\epsilon }_o\overline{E}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})\\ \end{array}$

Mittels

$\begin{array}{ll}& \overline{B}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{B})=\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }(\overline{B}\cdot \overline{B})-(\overline{B}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{B}\\ & \overline{B}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{B})=\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{B}\cdot \overline{B})-\overline{B}\otimes \overline{B}\}+\overline{B}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B})=\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{B}\cdot \overline{B})-\overline{B}\otimes \overline{B}\}\\ & \overline{B}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B})=0\\ \end{array}$

Dabei bezeichnet $\left(1\right)$ den Einheitstensor 1. Stufe und $\overline{B}\otimes \overline{B}$ das Tensorprodukt (dyadisches Produkt). Außerdem ist $\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{B}\cdot \overline{B})-\overline{B}\otimes \overline{B}\}$ die Divergenz eines Tensors $\left(T\right)$ zweiter Stufe. In Komponenten gilt: ${(\mathrm{\nabla }\cdot T)}_{\beta }:={\partial }_{\alpha }{T_{\alpha }}_{\beta }$

Analog:

$\begin{array}{ll}& \overline{E}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})=\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{E})-\overline{E}\otimes \overline{E}\}+\overline{E}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E})=\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{E})-\overline{E}\otimes \overline{E}\}+\overline{E}\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}(\overline{D}\times \overline{B})+\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)-{\epsilon }_0\overline{E}\otimes \overline{E}-\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\otimes \overline{B}\}=-(\overline{E}\rho +\overline{j}\times \overline{B})\\ \end{array}$

Dabei beschreibt

$(\overline{E}\rho +\overline{j}\times \overline{B})$ den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird

Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:

$\begin{array}{ll}& \frac{\partial }{\partial t}\overline{g}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\overline{\overline{T}}\right)=-(\overline{E}\rho +\overline{j}\times \overline{B})\\ & \overline{g}:=(\overline{D}\times \overline{B})\\ & \{\left(1\right)\frac{1}{2}({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)-{\epsilon }_0\overline{E}\otimes \overline{E}-\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\otimes \overline{B}\}:=\left(\overline{\overline{T}}\right)\\ \end{array}$

Dabei ist

$\overline{g}:=(\overline{D}\times \overline{B})$ die Impulsdichte des Feldes. Nach Newton gilt:

$\begin{array}{ll}& \frac{d}{dt}\overline{p}=\overline{F}\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}\overline{g}=\overline{f}\\ \end{array}$

Es ergibt sich

$\{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{D}+\overline{B}\cdot \overline{H})-\overline{E}\otimes \overline{D}-\overline{B}\otimes \overline{H}\}:=\left(\overline{\overline{T}}\right)$

Als der IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)

in Komponenten:

$T_{\alpha \beta }=\{{\delta }_{\alpha \beta }\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{D}+\overline{B}\cdot \overline{H})-{\overline{E}}_{\alpha }{\overline{D}}_{\beta }-{\overline{B}}_{\alpha }{\overline{H}}_{\beta }\}$

Dies ist die Stromrichtung der $\beta$ - Komponente der Impulsdichte in $\alpha$ - Richtung. Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !

$tr\left(\overline{\overline{T}}\right)=T_{\alpha \alpha }=w$ Energiedichte Außerdem ist T symmetrisch:

$T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$

Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung

$\frac{\partial }{\partial t}{g}_{\beta }+\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}{T}_{\alpha \beta }=-f_{\beta }$

beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.

Bemerkung: Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !

Eichinvarianz

Die Felder $\overline{E},\overline{B}$ werden durch die Potenziale $\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)$ dargestellt.:

$\begin{array}{ll}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\to \mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)\\ & \overline{A}(\overline{r},t)\to \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.

Also:

$\begin{array}{ll}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)=\overline{A}(\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }G(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow -\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}(\overline{A}(\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }G(\overline{r},t))\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }(\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)-\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}G(\overline{r},t))=0\\ & \Rightarrow (\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)-\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}G(\overline{r},t))=g(t)(r-unabh\ddot{a}ngig)\\ \end{array}$

Mit

$\begin{array}{ll}& F(\overline{r},t):=G(\overline{r},t)-\underset{to}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}g(t\stackrel{´}{})\\ & \Rightarrow \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)=\overline{A}(\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }F(\overline{r},t)\\ & \mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)=\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}F(\overline{r},t)\\ \end{array}$

mit eine völlig beliebigen Eichfunktion $F(\overline{r},t)$ . Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur $\overline{E},\overline{B}$ sondern auch $\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)$ sind physikalisch relevant. So muss auch $\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{A}(\overline{r},t)=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$ erfüllt sein.

Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch

$\begin{array}{ll}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t))=0\\ \end{array}$

Auch die Umkehrung gilt:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\exists }\overline{A}(\overline{r},t)\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=\overline{B}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=-\mathrm{\nabla }\times \frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\overline{E}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t))=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\exists }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\Rightarrow \overline{E}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden

Ziel: Entkopplung der DGLs für $\overline{A}(\overline{r},t),\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$

1. Lorentz- Eichung:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=0$

Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1) $\begin{array}{ll}& -\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t))=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ \end{array}$

Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

Für A: 2) $\begin{array}{ll}& \frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}=\overline{j}\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t))+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t))={\mu }_0\overline{j}\\ & \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t))=+\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t))-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t))=-{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

Was mit der Lorentz- Eichung

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=0$

wird zu

$\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}$

Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit

$\#:=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

zusammengefasst werden:

$\begin{array}{ll}& \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:

$\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}:=c=2,994\cdot {10}^8\frac{m}{s}$ als Lichtgeschwindigkeit

Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !

Coulomb- Eichung

( sogenannte Strahlungseichung):

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0$

Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik): Für

$\begin{array}{ll}& \dot{\overline{D}}=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{B}=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A})-\mathrm{\Delta }\overline{A}={\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

(Poissongleichung der Magnetostatik)

Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :

Allgemein kann man

$\overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)$

in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:

${\overline{E}}_l:=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$

und ein quellenfreies Transversalfeld

${\overline{E}}_t=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)$

zerlegen.

Tatsächlich gilt:

$\mathrm{\nabla }\times {\overline{E}}_l:=-\mathrm{\nabla }\times \left(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\right)=0$

$\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{E}}_t=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0$

Da $\overline{B}$ quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}:=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{A})=0$

Also:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$ ergibt die longitudinalen Felder und

$\overline{A}(\overline{r},t)$ die transversalen Felder.

Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).

Zerlegung der Stromdichte:

$\overline{j}={\overline{j}}_l+{\overline{j}}_t$

mit

$\mathrm{\nabla }\times {\overline{j}}_l=0$

$\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_t=0$

Mit

$\begin{array}{ll}& \frac{\partial }{\partial t}\rho +\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_l+\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_t=0\\ & \rho ={\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{E}}_l\\ & \mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_t=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot ({\overline{j}}_l+{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}{\overline{E}}_l)=0\\ \end{array}$

Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:

$\mathrm{\nabla }\times ({\overline{j}}_l+{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}{\overline{E}}_l)=0$

Also:

$({\overline{j}}_l+{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}{\overline{E}}_l)=const$

Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:

$({\overline{j}}_l+{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}{\overline{E}}_l)=0$

Also:

${\overline{j}}_l={\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}$

Also: Die Feldgleichungen

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }+\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ \end{array}$

und

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t))=-{\mu }_0\overline{j}\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0\\ & \mathrm{\nabla }{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)={\overline{j}}_l\\ \end{array}$

erhalten dann die Form:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

und

$\begin{array}{ll}& \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0{\overline{j}}_t\\ & \\ \end{array}$

In der Coulomb- Eichung ! Also.

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik

$\#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0{\overline{j}}_t$ als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.

Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !

Sie liefert eine Poissongleichung für $\mathrm{\Phi }$ und eine Wellengleichung für $\overline{A}(\overline{r},t)$ .