Stationäre Ströme und Magnetfeld

2vorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Stationäre Ströme und Magnetfeld basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des Elektrodynamik.Kapitels der 2vorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Kontinuitätsgleichung

Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I

Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:

$Q(t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)$

Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:

$\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=-\underset{\partial V}{\oint }\delta I$

$\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left|v\right|dt\left|df\right|\cos \alpha }{dt}=\rho \overline{v}d\overline{f}$

Also gerade die Ladung, die durch $d\overline{f}$ pro zeit aus V herausströmt Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte:

$\overline{j}(\overline{r},t):=\rho (\overline{r},t)\overline{v}(\overline{r},t)$

$\Rightarrow \frac{d}{dt}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=-\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\overline{j}(\overline{r},t)=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}(\overline{r},t)$ ( Gauß !) für alle Volumina V ( einfach zusammenhängend)

Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als LOKALER Erhaltungssatz:

$\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\rho (\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}(\overline{r},t)=0$

Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}(\overline{r},t)=0$

Aber : natürlich muss deswegen nicht $\overline{j}(\overline{r},t)=0$ gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein !

Magnetische Induktion

Experimentelle Erfahrung:

Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:

$\overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}(\overline{r})$

Die sogenannte Lorentz- Kraft !

$\overline{B}(\overline{r})$ ist die magnetische Induktion am Ort $\overline{r}$ , die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte $\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})$ .

Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:

$\overline{B}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}$

Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik:

$\begin{array}{rl}& \overline{F}=q\overline{E}(\overline{r})\\ & \overline{E}(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ \end{array}$

Die Einheiten im SI- System lauten:

$\left[B\right]=\frac{1Ns}{Cm}=\frac{1kg{m}^2}{C{s}^2}\cdot \frac{s}{m^2}=1V\frac{s}{m^2}=1T$

Mit diesen Einheiten ist dann ${\mu }_0=1,26\cdot {10}^{-6}\frac{Vs}{Am}$ festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar !! Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:

Im Gauß System:

$\overline{F}=\frac{q}{c}\overline{v}\times \overline{B}(\overline{r})$

$\begin{array}{rl}& \overline{B}(\overline{r})=\frac{1}{c}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}\\ & \\ \end{array}$

Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:

Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:

Der Strom durch L´:

$\begin{array}{rl}& \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})d^{3}r\stackrel{´}{}=\rho d^{3}r\stackrel{´}{}\overline{v}\stackrel{´}{}=\frac{d}{dt}\rho d^{3}r\stackrel{´}{}d\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & \frac{d}{dt}\rho d^{3}r\stackrel{´}{}=I\stackrel{´}{}\\ & \Rightarrow \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})d^{3}r\stackrel{´}{}=I\stackrel{´}{}d\overline{r}\stackrel{´}{}\\ \end{array}$

Somit folgt das Biot- Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´:

Die magnetische Induktion ist gerade:

$\begin{array}{rl}& \overline{B}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I\stackrel{´}{}\underset{L\stackrel{´}{}}{\overset{}{\int }}d\overline{r}\stackrel{´}{}\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}\\ & \\ \end{array}$

Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade:

$d\overline{F}=\rho \overline{v}\times \overline{B}(\overline{r})d^{3}r=\overline{j}\times \overline{B}{d}^{3}r=Id\overline{r}\times \overline{B}$

Also:

$\overline{F}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }II\stackrel{´}{}\underset{L}{\overset{}{\int }}d\overline{r}\times \underset{L\stackrel{´}{}}{\overset{}{\int }}d\overline{r}\stackrel{´}{}\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}$

Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L

mit

$\begin{array}{rl}& d\overline{r}\times (d\overline{r}\stackrel{´}{}\times (\overline{r}-\overline{r}))=\left(d\overline{r}(\overline{r}-\overline{r})\right)d\overline{r}\stackrel{´}{}-\left(d\overline{r}d\overline{r}\stackrel{´}{}\right)(\overline{r}-\overline{r})\\ & und\\ & \underset{L}{\overset{}{\int }}d\overline{r}\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}=-{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}|}_{L-ANfang}^{L-Ende}=0\\ \end{array}$

( Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen) folgt:

$\overline{F}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }II\stackrel{´}{}\underset{L}{\overset{}{\int }}\underset{L\stackrel{´}{}}{\overset{}{\int }}\left(d\overline{r}d\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}$

für parallele Ströme:

$Id\overline{r}I\stackrel{´}{}d\overline{r}\stackrel{´}{}>0$ folgt Anziehung für antiparallele Ströme:

$Id\overline{r}I\stackrel{´}{}d\overline{r}\stackrel{´}{}<0$ dagegen Abstoßung

Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:

$\begin{array}{rl}& \overline{r}\leftrightarrow \overline{r}\stackrel{´}{}\\ & d\overline{r}\leftrightarrow d\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & I\leftrightarrow I\stackrel{´}{}\\ \end{array}$

Somit:

$\overline{F}\leftrightarrow -\overline{F}$ ( actio gleich reactio)

Die magnetostatischen Feldgleichungen

Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !!

Mit dem Vektorpotenzial

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß $\overline{A}(\overline{r})\to \overline{A}+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }$ umgeeicht werden kann. ( $\mathrm{\Psi }(\overline{r})$ beliebig möglich, da $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }=0$ )

Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:

$\overline{B}=rot\overline{A}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }\times \frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

Beweis:

$\begin{array}{rl}& rot\overline{A}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }\times \frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}\\ & \Rightarrow rot\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}=\overline{B}(\overline{r})\\ \end{array}$

Folgende Aussagen sind äquivalent: Es existiert ein Vektorpotenzial mit

$\begin{array}{rl}& \overline{B}=rot\overline{A}(\overline{r})\\ & \iff \\ \end{array}$

$div\overline{B}=0$

Beweis:

$div(rot\overline{A}(\overline{r}))=0$

es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen".

Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !) Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen ! Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten ${10}^{-35}s$ erzeugt worden sein sollen.

Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.) Der Zusammenhang zwischen

$\overline{B}(\overline{r})$ und $\overline{j}(\overline{r})$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r}))=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r}))-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r})\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }\cdot \frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\nabla }}_r\cdot \frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)+\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=-\frac{\partial }{\partial t}\rho =0\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)\\ \end{array}$

Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt !

Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t)}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t)}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}={\mu }_0{\epsilon }_0\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }{d}^3\overline{f}\stackrel{´}{}\left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Mit dem Gaußschen Satz. Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:

$\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }{d}^3\overline{f}\stackrel{´}{}\left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)=0$

Also:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$

Also:

$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r}))={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}(\overline{r},t)$

Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\Delta }}_r\cdot \left(\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\Delta }}_r\cdot \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)\\ & =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-{\mu }_0\overline{j}(\overline{r})\\ \end{array}$

wegen

${\mathrm{\Delta }}_r\cdot \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\right)=4\pi \delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

Also:

$\mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r}))-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r})={\mu }_0\overline{j}(\overline{r})+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}(\overline{r},t)$

Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})={\mu }_0\overline{j}(\overline{r})\\ & {\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}(\overline{r},t)=0\\ \end{array}$

Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !!

Integration über eine Fläche F mit Rand $\partial F$ liefert die Intgralform:

$\begin{array}{rl}& \underset{}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})=\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{B}(\overline{r})=\underset{}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot {\mu }_0\overline{j}(\overline{r})={\mu }_{0}I\\ & \underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{B}(\overline{r})={\mu }_{0}I\\ \end{array}$

Mit dem Satz von Stokes Das sogenannte Durchflutungsgesetz !

Zusammenfassung:

Magnetostatik:

$div\overline{B}=0\iff \overline{B}=rot\overline{A}$ ( quellenfreiheit)

$\begin{array}{rl}& rot\overline{B}={\mu }_0\overline{j}(\overline{r})\iff \underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\cdot \overline{B}={\mu }_{0}I\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }\overline{A}=-{\mu }_0\overline{j}(\overline{r})\\ \end{array}$

Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=0$

Dies geschieht durch die Umeichung

$\begin{array}{rl}& \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r})\to \overline{A}+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r})\to \mathrm{\nabla }\times \overline{A}+\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\\ & \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }=0\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r})\to \mathrm{\nabla }\times \overline{A}\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r}))=\mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r})={\mu }_0\overline{j}\\ & \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r}))=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r}))-\mathrm{\Delta }\overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r})\\ \end{array}$

Elektrostatik:

$rot\overline{E}=0\iff \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$ ( Wirbelfreiheit)

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=\rho \\ & \iff {\epsilon }_0\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{E}=Q\\ \end{array}$ differenzielle Form / integrale Form

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho \left(\overline{r}\right)$ ( Poissongleichung)

Magnetische Multipole

( stationär)

Ausgangspunkt ist $\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$ (mit der Coulomb- Eichung $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=0$ )

mit den Randbedingungen $\overline{A}(\overline{r})\to 0$ für r-> unendlich

Taylorentwicklung nach $\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$ von analog zum elektrischen Fall: Die Stromverteilung $\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})$ sei stationär für $r>>r\stackrel{´}{}$

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r^3}(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+...$

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})+\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+...$

Monopol- Term

Mit

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=x_k\stackrel{´}{}({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))+\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\cdot \left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}{x}_k\stackrel{´}{}\right)$

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=0$

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\cdot \left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}{x}_k\stackrel{´}{}\right)=j_l{\delta }_{kl}=j_k$

Mit ${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=j_k$ folgt dann:

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{j}_k(\overline{r}\stackrel{´}{})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }d\overline{f}[x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=0$

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie

Dipol- Term

mit

$[\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]\times \overline{r}=\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}-\left(\overline{r}\overline{j}\right)\overline{r}\stackrel{´}{}=2\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}-[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}+\left(\overline{r}\overline{j}\right)\overline{r}\stackrel{´}{}]$

und mit

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)j_k+x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{j}\right)+x_{k\stackrel{´}{}}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}]\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}=0\\ & \Rightarrow {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)j_k+x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{j}\right)]\\ \end{array}$

Folgt:

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)j_k+x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{j}\right)]=0$

Da

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }d\overline{f}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=0$ weil der Strom verschwindet ! Somit gibt der Term

$[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}+\left(\overline{r}\overline{j}\right)\overline{r}\stackrel{´}{}]$

keinen Beitrag zum

$\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})$

Also:

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\frac{1}{2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))\times \overline{r}$

Als DIPOLPOTENZIAL !!

$\begin{array}{rl}& \overline{A}(\overline{r}):=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\overline{m}\times \overline{r}\\ & \overline{m}=\frac{1}{2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))\\ \end{array}$

das magnetische Dipolmoment !

Analog zu

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r}):=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}\overline{p}\cdot \overline{r}\\ & \overline{p}:=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

dem elektrischen Dipolmoment

Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als:

$\overline{B}(\overline{r}):=\mathrm{\nabla }\times \frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\overline{m}\times \overline{r}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^5}[3(\overline{m}\cdot \overline{r})\overline{r}-r^2\overline{m}]$

Wegen:

$\mathrm{\nabla }\times (\overline{a}\times \overline{b})=(\overline{b}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{a}-(\overline{a}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{b}+\overline{a}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{b})-\overline{b}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{a})$

mit

$\begin{array}{rl}& \overline{a}=\frac{\overline{m}}{r^3}\\ & \overline{b}=\overline{r}\\ & \Rightarrow div\overline{a}=-3\frac{\overline{m}\cdot \overline{r}}{r^5}\\ & div\overline{b}=3\\ & (\overline{b}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{a}=-3\frac{\overline{m}\cdot r^2}{r^5}\\ & (\overline{a}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{b}=\frac{\overline{m}}{r^3}\\ \end{array}$

Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld:

$\overline{E}(\overline{r}):=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^5}[3(\overline{p}\cdot \overline{r})-r^2\overline{p}]$

Beispiel: Ebene Leiterschleife L:

$\begin{array}{rl}& d\overline{f}\stackrel{´}{}=\frac{1}{2}\overline{r}\stackrel{´}{}\times d\overline{s}\stackrel{´}{}\\ & d^3\overline{r}\stackrel{´}{}j(\overline{r}\stackrel{´}{})=d\overline{s}\stackrel{´}{}I\\ \end{array}$

Mit I = Strom durch den Leiter

$\Rightarrow \overline{m}=\frac{1}{2}\underset{L}{\oint }{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))=\frac{I}{2}\underset{L}{\oint }\overline{r}\stackrel{´}{}\times d\overline{s}\stackrel{´}{}=I\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\stackrel{´}{}=IF\overline{n}$

Dabei ist

$\overline{n}$ die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F

Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment $\overline{m}$

analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment $\overline{p}=q\overline{a}$ , welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.

Bewegte Ladungen N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich.

Dabei sei die spezifische Ladung

$\frac{q_i}{m_i}=\frac{q}{m}$ konstant:

$\begin{array}{rl}& \rho (\overline{r})=\sum _i{q}_i\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i)\\ & \overline{j}(\overline{r})=\sum _i{q}_i{\overline{v}}_i\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i)\\ & {\overline{v}}_i=\frac{d{\overline{r}}_i}{dt}\\ \end{array}$

Das magnetische Dipolmoment beträgt:

$\begin{array}{rl}& \overline{m}=\frac{1}{2}\underset{L}{\oint }{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))=\frac{1}{2}\sum _i{q}_i\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\times {\overline{v}}_i\delta (\overline{r}\stackrel{´}{}-{\overline{r}}_i)=\frac{1}{2}\sum _i{q}_i{\overline{r}}_i\times {\overline{v}}_i=\frac{1}{2}\sum _i\frac{q_i}{m_i}{m}_i{\overline{r}}_i\times {\overline{v}}_i\\ & \frac{q_i}{m_i}=\frac{q}{m}\\ & \Rightarrow \overline{m}=\frac{q}{2m}\overline{L}\\ \end{array}$

Mit dem Bahndrehimpuls $\overline{L}$

$\overline{m}=\frac{q}{2m}\overline{L}$ gilt aber auch für starre Körper !

• Allgemeines Gesetz !

Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons !!!

$\begin{array}{rl}& \overline{m}=g\frac{e}{2m}\overline{S}\\ & g\approx 2\\ \end{array}$

Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen !

Kraft auf eine Stromverteilung:

$\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})={\rho }_i(\overline{r}\stackrel{´}{})\overline{v}(\overline{r}\stackrel{´}{})$

im Feld einer externen magnetischen Induktion $\overline{B}(\overline{r}\stackrel{´}{})$

Spürt die Lorentzkraft

$\overline{F}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \overline{B}(\overline{r}\stackrel{´}{})$

Talyorentwicklung liefert:

$\begin{array}{rl}& \overline{B}(\overline{r}\stackrel{´}{})=\overline{B}(\overline{r})+\left[(\overline{r}\stackrel{´}{}-\overline{r})\mathrm{\nabla }\right]\overline{B}(\overline{r})+....\\ & \Rightarrow \overline{F}=[\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]\times \overline{B}(\overline{r}\stackrel{´}{})+\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[(\overline{r}\stackrel{´}{}-\overline{r})\mathrm{\nabla }\right]\overline{B}(\overline{r})+...\\ \end{array}$

im stationären Fall gilt wieder:

$[\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=0$ ( keine Monopole) Also:

$\begin{array}{rl}& \overline{F}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})-\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})\\ & \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})=0,da\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=0\\ & \Rightarrow \overline{F}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})\\ & \left[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})={\mathrm{\nabla }}_r[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r})]-\overline{r}\stackrel{´}{}\times [{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{B}(\overline{r})]\\ \end{array}$

Man fordert:

$[{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{B}(\overline{r})]=0$

( Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von $\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})$ haben:

$\begin{array}{rl}& \overline{F}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times {\mathrm{\nabla }}_r[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r})]\\ & \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times {\mathrm{\nabla }}_r[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r})]=-{\mathrm{\nabla }}_r\times [(\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r}))\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]+[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r})]{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=0\\ & \Rightarrow \overline{F}=-\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\times [(\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r}))\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=-{\mathrm{\nabla }}_r\times (\overline{m}\times \overline{B}(\overline{r}))\\ & \overline{F}=-{\mathrm{\nabla }}_r\times (\overline{m}\times \overline{B}(\overline{r}))=(\overline{m}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r)\overline{B}(\overline{r})=-{\mathrm{\nabla }}_r(-\overline{m}\cdot \overline{B}(\overline{r}))\\ \end{array}$

( Vergl. S. 34)