Der Hamiltonsche kanonische Formalismus

Motivation

Die Lagrange- Theorie benutzt als dynamische Variablen die verallgemeinerten Koordinaten qk und deren Geschwindigkeiten:

$\begin{array}{rl}& L(q_1,...,q_f,{\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_f,t)\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\\ \end{array}$

k=1,..,f

Wir erhalten f DGL 2. Ordnung für qk(t) im Lagrangeformalismus

Bei gewissen Problemstellungen, wenn es beispielsweise zyklische Variablen gibt:

$\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}=const$

oder auch bei bestimmten Erweiterungen der Theorie ( Quantenmechanik, statistische Mechanik)

ist es vorteilhaft, statt qk und deren Geschwindigkeiten qk und die zu qk konjugierten Impulse zu benutzen.

Die zu den verallgemeinerten Koordinaten konjugierten Impulse lauten:

$p_k:=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}$

Die erforderliche Variablentransformation

$(q_k,{\dot{q}}_k,t)\to (q_k,p_k,t)$

leistet die sogenannte Legendre- Transformation.

Im Hamiltonformalismus ergeben sich nun 2f DGL 1. Ordnung für

qk(t) und pk(t)

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Der Hamiltonsche kanonische Formalismus basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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