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Rotation in kartesischen Koordinaten

Seien $(x,y,z)$ die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raumes und $\mathbf {e} _{x}\,,$ $\mathbf {e} _{y}$ und $\mathbf {e} _{z}$ die normierten, zueinander senkrechten Basisvektoren, die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen.

Die Rotation eines dreidimensionalen, differenzierbaren Vektorfeldes

$\mathbf {F} (x,y,z)=F_{x}(x,y,z)\,\mathbf {e} _{x}+F_{y}(x,y,z)\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}(x,y,z)\,\mathbf {e} _{z}$

ist das dreidimensionale Vektorfeld

$\mathbf {\operatorname {rot} } \,\mathbf {F} (x,y,z)=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\,.$

Als Merkregel kann man $\operatorname {rot} \,\mathbf {F}$ als Determinante einer Matrix auffassen, deren erste Spalte die kartesischen Basisvektoren enthält, die zweite die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten und die dritte die zu differenzierenden Komponentenfunktionen

$\operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\operatorname {det} \,{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}&{\frac {\partial }{\partial x}}&F_{x}\\\mathbf {e} _{y}&{\frac {\partial }{\partial y}}&F_{y}\\\mathbf {e} _{z}&{\frac {\partial }{\partial z}}&F_{z}\end{pmatrix}}\,.$