Effektives Potential

Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht.

$L=L_z{e}_z=r\times p,e_z\mathrm{\perp }A(r,\dot{r})$ (5.1) Daraus folgt aber, aufgrund der Definition der Kugelkoordinaten, dass $\vartheta =\pi /2$ist daraus folgt, dass $\sin \vartheta =1$uns $\dot{\vartheta }=0$somit vereinfacht sich die Relativgeschwindigkeit zu.

${\dot{\mathbf{r}}}^2={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2$ (5.2) Die Drehimpulserhaltung ermöglicht es $\dot{\phi }$nach dem Drehimpuls umzuformen und so zu eliminieren:

$\dot{\phi }=\frac{L_z}{\mu r^2}$ (5.3) Würde man dies in die Beziehung für die relative kinetische Energie einsetzen so erhielte man einen Term der nicht von $\dot{q}$ sondern von $q$abhängt, was der Lagrang’schen Definition der kinetischen Energie widerspräche.

$T_R=\frac{1}{2}\mu {\dot{r}}^2+\underset{\dot{q}?}{\underbrace{\frac{L_z^2}{2\mu r^2}}}$ (5.4) Also muss dieser Term zur Potentiellen Energie hinzugefügt werden. Diese heißt nun das effektive Potential (U). Es darf allerdings kein Minuszeichen vor den neuen Term kommen da die Energieerhaltung E=T+U in jedem Fall gewahr werden muss.

$V_{eff}\equiv U=\frac{L_z^2}{2\mu r^2}-\frac{\alpha }{r}$ (5.5) Die Lagrangegleichung hat nun die korrekte Form und lautet.

$L(\dot{q},q,t)=T(\dot{q},t)+U(q,t)=\underset{T_S}{\underbrace{\frac{1}{2}M{\dot{\mathbf{R}}}^2}}+\underset{{{T^{\prime }}^{\prime }}_R}{\underbrace{\frac{1}{2}\mu {\dot{r}}^2}}-\underset{U}{\underbrace{\frac{L_z^2}{2\mu r^2}+\frac{\alpha }{r}}}$ (5.6)