Master Gleichung

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators $H={{H}_{S}}+{{H}_{B}}+{{H}_{I}}$ bestehend aus

• System $H_{S}$
• Umgebung $H_{B}$
• WW $H_{I}$

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir

• links ${}^{L}{{H}_{B}}=\sum \limits _{k}{{}^{L}{{\varepsilon }_{k}}{}^{L}{{N}_{k}}}$
• und rechts ${}^{R}{{H}_{B}}=\sum \limits _{k}{{}^{R}{{\varepsilon }_{k}}{}^{R}{{N}_{k}}}$ zuammen mit ${}^{X}{{N}_{k}}={}^{X}a_{k}^{+}{}^{X}{{a}_{k}}$

Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen ${{H}_{I}}={}_{S}^{L}{{H}_{I}}+{}_{S}^{R}{{H}_{I}}+{}_{L}^{S}{{H}_{I}}+{}_{R}^{S}{{H}_{I}}$

• Von Links ins System ${}_{S}^{L}{{H}_{I}}$
• Vor Rechts ins System ${}_{S}^{R}{{H}_{I}}$
• Vom System nach Links ${}_{L}^{S}{{H}_{I}}$
• Vom System nach Rechts ${}_{R}^{S}{{H}_{I}}$

mit ${}_{S}^{X}{{H}_{I}}=\sum \limits _{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}a_{k}^{\dagger }{{e}_{i}}}$ und ${}_{X}^{S}{{H}_{I}}=\sum \limits _{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}{{a}_{k}}e_{i}^{\dagger }}$

${{e}_{i}}$ erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i. $e_{i}^{\dagger }$ vernichtet ...

Transformation ins WW-Bild

Operator ins WWBild

${\tilde {A}}\left(t\right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}$ mit ${{U}_{0}}=\exp \left(-{\mathfrak {i}}{{H}_{0}}t\right)$ und ${{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}$

Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung ${\dot {\rho }}=-{\mathfrak {i}}\left[{H,\rho }\right]$

mit der Lösung

$\rho \left(t\right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U$

mit $U=\exp \left(-{\mathfrak {i}}Ht\right)$

Beweis

${{\partial }_{t}}U=-{\mathfrak {i}}HU$

sowie

${{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}={\mathfrak {i}}HU$

Dann ist ${{d}_{t}}\rho =\underbrace {-{\mathfrak {i}}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}{\mathfrak {i}}H{{U}^{\dagger }}} _{-{\mathfrak {i}}\left[H,\rho \right]}+\underbrace {U\left({{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}}\right){{U}^{\dagger }}} _{0}$

beweis ende

lösung ende

Die LVN-Gln wird zu

${\begin{aligned}&{{d}_{t}}{\tilde {\rho }}={{d}_{t}}\left(U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}\right)\\&={\mathfrak {i}}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left(\rho \right){{U}_{0}}\\&={\mathfrak {i}}\left[{{H}_{0}},{\tilde {\rho }}\right]-{\mathfrak {i}}U_{0}^{\dagger }\left[H,\rho \right]{{U}_{0}}\\&={\mathfrak {i}}\left[{{H}_{0}},{\tilde {\rho }}\right]-{\mathfrak {i}}U_{0}^{\dagger }\left[{{H}_{0}}+{{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}}\\&={\mathfrak {i}}\left[{{H}_{0}},{\tilde {\rho }}\right]-{\mathfrak {i}}\left[{{H}_{0}},{\tilde {\rho }}\right]-{\mathfrak {i}}U_{0}^{\dagger }\left[{{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}}\\&=-{\mathfrak {i}}\left[{{\tilde {H}}_{I}},{\tilde {\rho }}\right]\\\end{aligned}}$

Lösung

Integrieren ${\tilde {\rho }}=\rho _{0}-{\mathfrak {i}}\int _{0}^{t}[{\tilde {H_{I}}},{\tilde {\rho }}]\,dt'$ auf rechter Seite einsetzen

${\begin{aligned}&{{d}_{t}}{\tilde {\rho }}=-{\mathfrak {i}}\left[{{\tilde {H}}_{I}},{{\rho }_{0}}-{\mathfrak {i}}\int _{0}^{t}{[{{\tilde {H}}_{I}},{\tilde {\rho }}]}\,d{t}'\right]\\&=-{\mathfrak {i}}\left[{{\tilde {H}}_{I}},{{\rho }_{0}}\right]-\left[{{\tilde {H}}_{I}},\int _{0}^{t}{[{{\tilde {H}}_{I}},{\tilde {\rho }}]}\,d{t}'\right]\\&=-{\mathfrak {i}}\left[{{\tilde {H}}_{I}},{{\rho }_{0}}\right]-\int _{0}^{t}{\left[{{\tilde {H}}_{I}},\left[{{\tilde {H}}_{I}},\,{\tilde {\rho }}\right]\right]}d{t}'\end{aligned}}$

System Dichteoperator

Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad

${{\rho }_{S}}={{\operatorname {Tr} }_{B}}\left[\rho \right]$

${{\tilde {\rho }}_{S}}=U_{S}^{\dagger }{{\rho }_{S}}{{U}_{S}}$

${{U}_{S}}=\exp \left(-{\mathsf {\mathfrak {i}}}{{H}_{S}}t\right)$

damit folgt für ${\begin{aligned}&{{d}_{t}}{\tilde {\rho _{S}}}=-{\mathfrak {i}}\operatorname {Tr} _{B}\left[{{\tilde {H}}_{I}},{{\rho }_{0}}\right]-\int _{0}^{t}{\operatorname {Tr} _{B}\left[{{\tilde {H}}_{I}},\left[{{\tilde {H}}_{I}},\,{\tilde {\rho }}\right]\right]}d{t}'\end{aligned}}$

Annahmen

• WW zur Zeit t=0 eingeschaltet
• no korrelation beteween System and Bath at t=0

--> ${{\tilde {\rho }}_{0}}={{\rho }_{0}}={{\rho }_{S,0}}{{R}_{B,0}}$

• Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.

-->

${{\operatorname {Tr} }_{S}}\left[{{\tilde {H}}_{I}}{{R}_{B,0}}\right]=0\Rightarrow \left[{{\tilde {H}}_{I}},{{\rho }_{0}}\right]=0$

• Dichtematrix zu t=0 Sperabel
• Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I
• Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst

${\tilde {\rho }}={{\tilde {\rho }}_{S,0}}{{R}_{B,0}}+O\left({{H}_{I}}\right)$

Bornsche Näherung

• Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2

${{d}_{t}}{{\tilde {\rho }}_{S}}=-\int _{0}^{t}{{{\operatorname {Tr} }_{B}}\left[{{\tilde {H}}_{I}},\left[{\tilde {H}}{{'}_{I}},\,{\tilde {\rho }}{{'}_{S}}{{R}_{B,0}}\right]\right]}d{t}'$

Markov Näherung

• Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab

${{\rho }_{S}}=\rho {{'}_{S}}$