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* Page found: Klein Gordon Gleichung (eq math.3928.11)

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Klein Gordon Gleichung Eq: math.3928.11

Hash: 0b1fb554c798787132f2bb965c105206

TeX (original user input):

\begin{align}
& \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\
& =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\int {\rho \left({\underline {x}},t\right){{d}^{d}}{\underline {x}}}={{\left({\frac {1}{2\pi }}\right)}^{d}}{\frac {1}{m}}\int {\int {\int {{{\varphi }^{*}}\left({\underline {k}}\right)\varphi \left({{\underline {k}}'}\right){{e}^{i\left({\underline {k}}-{\underline {k}}'\right){\underline {x}}}}\omega \left({{\underline {k}}'}\right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'}\\&={\frac {1}{m}}\int {\omega \left({\underline {k}}\right){{\left|\varphi \left({\underline {k}}\right)\right|}^{2}}{{d}^{d}}{\underline {k}}}>0\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (36.835 KB / 4.087 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\int{\rho\left(% \underline{x},t\right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left(\frac{1}{2\pi}\right)}^{% d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi}^{*}}\left({\underline{k}}\right)% \varphi\left({{\underline{k}}^{\prime}}\right){{e}^{i\left(\underline{k}-{% \underline{k}}^{\prime}\right)\underline{x}}}\omega\left({{\underline{k}}^{% \prime}}\right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}^{\prime}}\\ &\displaystyle=\frac{1}{m}\int{\omega\left({\underline{k}}\right){{\left|% \varphi\left({\underline{k}}\right)\right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0\end{% aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\int{\rho\left(%&#10;\underline{x},t\right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left(\frac{1}{2\pi}\right)}^{%&#10;d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi}^{*}}\left({\underline{k}}\right)%&#10;\varphi\left({{\underline{k}}^{\prime}}\right){{e}^{i\left(\underline{k}-{%&#10;\underline{k}}^{\prime}\right)\underline{x}}}\omega\left({{\underline{k}}^{%&#10;\prime}}\right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}^{\prime}}\\&#10;&amp;\displaystyle=\frac{1}{m}\int{\omega\left({\underline{k}}\right){{\left|%&#10;\varphi\left({\underline{k}}\right)\right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}&gt;0\end{%&#10;aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">∫</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">ρ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.2.1.cmml">(</mo>
                    <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">x</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">¯</mo>
                    </munder>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.2.1.cmml">,</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">t</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.2.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">d</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml">d</mi>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml">x</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">¯</mo>
                  </munder>
                </mrow>
              </mrow>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.cmml">1</mn>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.3.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.2.cmml">π</mi>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml">d</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml">1</mn>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.cmml">m</mi>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">∫</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">∫</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">∫</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">φ</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">*</mo>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">(</mo>
                          <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.cmml">k</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml">¯</mo>
                          </munder>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">φ</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4.2.cmml">(</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4.2.cmml">
                            <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml">k</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">¯</mo>
                            </munder>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml">′</mo>
                          </msup>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">e</mi>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.1.cmml">i</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.9.cmml">⁢</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2.cmml">(</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2.cmml">
                                <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3.cmml">
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3.2.cmml">k</mi>
                                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3.1.cmml">¯</mo>
                                </munder>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.4.cmml">-</mo>
                                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2.1.cmml">
                                  <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.5.cmml">
                                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.5.2.cmml">k</mi>
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.5.1.cmml">¯</mo>
                                  </munder>
                                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.6.1.cmml">′</mo>
                                </msup>
                              </mrow>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.9.cmml">⁢</mo>
                            <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.8.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.8.2.cmml">x</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.8.1.cmml">¯</mo>
                            </munder>
                          </mrow>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">ω</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.6.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.6.2.cmml">(</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.6.2.cmml">
                            <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.cmml">k</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1.cmml">¯</mo>
                            </munder>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1.cmml">′</mo>
                          </msup>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.6.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.7.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml">d</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.cmml">d</mi>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.cmml">x</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.8.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml">d</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1.cmml">d</mi>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.cmml">k</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.9.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml">d</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.cmml">d</mi>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.10.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.cmml">k</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.cmml">′</mo>
                        </msup>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mstyle>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">1</mn>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">m</mi>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">∫</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">ω</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">(</mo>
                      <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">k</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">¯</mo>
                      </munder>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3.2.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3.2.1.1.cmml">|</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">φ</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">(</mo>
                            <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.cmml">k</mi>
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                      </mrow>
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                    <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11"/>
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                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝑡</ci>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">𝑑</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1">𝑑</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1">¯</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2">𝑥</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.2">superscript</csymbol>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2">1</cn>
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                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.3"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.1">2</cn>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.2">superscript</csymbol>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1">¯</ci>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.4">superscript</csymbol>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2">𝑘</ci>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1">′</ci>
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                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.5">superscript</csymbol>
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                          <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.9"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.1">𝑖</ci>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10">
                            <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.4"/>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3">
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.3.1">¯</ci>
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                              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.10.2.1">superscript</csymbol>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39">𝑥</ci>
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                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.3.1.1.1.8">superscript</csymbol>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45">𝑘</ci>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\int{\rho\left(%
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d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi}^{*}}\left({\underline{k}}\right)%
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\underline{k}}^{\prime}\right)\underline{x}}}\omega\left({{\underline{k}}^{%
\prime}}\right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}^{\prime}}\\
&amp;\displaystyle=\frac{1}{m}\int{\omega\left({\underline{k}}\right){{\left|%
\varphi\left({\underline{k}}\right)\right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}&gt;0\end{%
aligned}}}</annotation>
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\begin{aligned} \int ρ (\underline{x}, t) d^{d} \underline{x} = {(\frac{1}{2 π})}^{d} \frac{1}{m} \int \int \int φ^{*} (\underline{k}) φ ({\underline{k}}^{'}^{'}) e^{i (\underline{k} - {\underline{k}}^{'}^{'}) \underline{x}} ω ({\underline{k}}^{'}^{'}) d^{d} x d^{d} k d^{d} {k^{'}}^{'} \\ = \frac{1}{m} \int ω (\underline{k}) {| φ (\underline{k}) |}^{2} d^{d} \underline{k} > 0 \end{aligned}

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