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Display information for equation id:math.3435.98 on revision:3435

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TeX (original user input): 

\begin{align}
A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\
K A_1 \cos Kr_0 &= k A_2 \cos (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k\\[0.5em]
K \cot Kr_0 &=  \cot (k r_0 +\delta_0) &= \underbrace{(r_0-a)^{-1}}_{k \ll K}\\
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}A_{1}\sin Kr_{0}&=A_{2}\sin(kr_{0}+\delta _{0})&=A_{2}k(r_{0}-a)\\KA_{1}\cos Kr_{0}&=kA_{2}\cos(kr_{0}+\delta _{0})&=A_{2}k\\[0.5em]K\cot Kr_{0}&=\cot(kr_{0}+\delta _{0})&=\underbrace {(r_{0}-a)^{-1}} _{k\ll K}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (34.254 KB / 3.833 KB) :

A 1 ⁢ sin ⁡ K ⁢ r 0 = A 2 ⁢ sin ⁡ ( k ⁢ r 0 + δ 0 ) = A 2 ⁢ k ⁢ ( r 0 - a ) K ⁢ A 1 ⁢ cos ⁡ K ⁢ r 0 = k ⁢ A 2 ⁢ cos ⁡ ( k ⁢ r 0 + δ 0 ) = A 2 ⁢ k K ⁢ cot ⁡ K ⁢ r 0 = cot ⁡ ( k ⁢ r 0 + δ 0 ) = ( r 0 - a ) - 1 ⏟ k ≪ K subscript 𝐴 1 𝐾 subscript 𝑟 0 absent subscript 𝐴 2 𝑘 subscript 𝑟 0 subscript 𝛿 0 absent subscript 𝐴 2 𝑘 subscript 𝑟 0 𝑎 𝐾 subscript 𝐴 1 𝐾 subscript 𝑟 0 absent 𝑘 subscript 𝐴 2 𝑘 subscript 𝑟 0 subscript 𝛿 0 absent subscript 𝐴 2 𝑘 𝐾 𝐾 subscript 𝑟 0 absent 𝑘 subscript 𝑟 0 subscript 𝛿 0 absent subscript ⏟ superscript subscript 𝑟 0 𝑎 1 much-less-than 𝑘 𝐾 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle A_{1}\sin Kr_{0}&% \displaystyle=A_{2}\sin(kr_{0}+\delta_{0})&\displaystyle=A_{2}k(r_{0}-a)\\ \displaystyle KA_{1}\cos Kr_{0}&\displaystyle=kA_{2}\cos(kr_{0}+\delta_{0})&% \displaystyle=A_{2}k\\ \displaystyle K\cot Kr_{0}&\displaystyle=\cot(kr_{0}+\delta_{0})&\displaystyle% =\underbrace{(r_{0}-a)^{-1}}_{k\ll K}\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle A_{1}\sin Kr_{0}&amp;%&#10;\displaystyle=A_{2}\sin(kr_{0}+\delta_{0})&amp;\displaystyle=A_{2}k(r_{0}-a)\\&#10;\displaystyle KA_{1}\cos Kr_{0}&amp;\displaystyle=kA_{2}\cos(kr_{0}+\delta_{0})&amp;%&#10;\displaystyle=A_{2}k\\&#10;\displaystyle K\cot Kr_{0}&amp;\displaystyle=\cot(kr_{0}+\delta_{0})&amp;\displaystyle%&#10;=\underbrace{(r_{0}-a)^{-1}}_{k\ll K}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">A</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">1</mn>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">sin</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">K</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml">r</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">0</mn>
                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
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              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">A</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">2</mn>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">sin</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">k</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">r</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml">0</mn>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">+</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">δ</mi>
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                    </msub>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.11.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.1.cmml">=</mo>
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              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.2.cmml">
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              </msub>
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                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.6.cmml">r</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.7.1.cmml">0</mn>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.8.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.9.cmml">a</mi>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">K</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.8.cmml">⁢</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.9.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">A</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">1</mn>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.8.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.4.cmml">cos</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.5.cmml">K</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.2.cmml">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">A</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">2</mn>
              </msub>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">cos</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">k</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml">0</mn>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">+</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.2.cmml">
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                  </mrow>
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                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.3.1.cmml">2</mn>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.6.1.cmml">⁢</mo>
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                      </msub>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5">𝑟</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1">0</cn>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">
              <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">𝐴</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1">2</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2">
                <sin id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1">
                  <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝑘</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.1.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">𝑟</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1">0</cn>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.1.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">𝛿</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1">0</cn>
                  </apply>
                </apply>
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          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.11">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12">
              <times id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.2">𝐴</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.3.1">2</cn>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.4">𝑘</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.8"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.12.3.2.1">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.6">𝑟</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.7.1">0</cn>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.9">𝑎</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">
            <times id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.8"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1">𝐾</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.9">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.9">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2">𝐴</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.3.1">1</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10">
              <cos id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.4"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1">
                <times id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.5">𝐾</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.10.1.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.6">𝑟</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1">0</cn>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">
              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑘</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">𝐴</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">2</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2">
                <cos id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1">
                  <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">𝑘</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.1.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">𝑟</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">0</cn>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">𝛿</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1">0</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
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          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.5">absent</csymbol>
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              <times id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.6.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.6.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.6.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.6.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.2">𝐴</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.3.1">2</cn>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.4">𝑘</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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            <times id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.6"/>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2.1.2">
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">𝛿</ci>
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          </apply>
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            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.4">absent</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.1">⏟</ci>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.9.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.9.2.1">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.2">𝑟</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.3.1">0</cn>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.5">𝑎</ci>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.7.1.2">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.3.1">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.3.1.2">much-less-than</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.3.1.1">𝑘</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.3.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.3.1.3">𝐾</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle A_{1}\sin Kr_{0}&amp;%
\displaystyle=A_{2}\sin(kr_{0}+\delta_{0})&amp;\displaystyle=A_{2}k(r_{0}-a)\\
\displaystyle KA_{1}\cos Kr_{0}&amp;\displaystyle=kA_{2}\cos(kr_{0}+\delta_{0})&amp;%
\displaystyle=A_{2}k\\
\displaystyle K\cot Kr_{0}&amp;\displaystyle=\cot(kr_{0}+\delta_{0})&amp;\displaystyle%
=\underbrace{(r_{0}-a)^{-1}}_{k\ll K}\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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A1sin⁡Kr0=A2sin⁡(kr0+δ0)=A2k(r0−a)KA1cos⁡Kr0=kA2cos⁡(kr0+δ0)=A2kKcot⁡Kr0=cot⁡(kr0+δ0)=(r0−a)−1⏟k≪K
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="left" columnspacing="0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><msub><mi>A</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow></msub><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>K</mi><msub><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><msub><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>&#x03B4;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd><mtd><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>K</mi><msub><mi>A</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow></msub><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>K</mi><msub><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>=</mo><mi>k</mi><msub><mi>A</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><msub><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>&#x03B4;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd><mtd><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>K</mi><mi>cot</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>K</mi><msub><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>=</mo><mi>cot</mi><mo>&#x2061;</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><msub><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>&#x03B4;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd><mtd><mo>=</mo><munder><mrow data-mjx-texclass="OP"><munder><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></msup></mrow><mo>&#x23DF;</mo></munder></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>&#x226A;</mo><mi>K</mi></mrow></mrow></munder></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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Identifiers

  • A1
  • K
  • r0
  • A2
  • k
  • r0
  • δ0
  • A2
  • k
  • r0
  • a
  • K
  • A1
  • K
  • r0
  • k
  • A2
  • k
  • r0
  • δ0
  • A2
  • k
  • e
  • m
  • K
  • K
  • r0
  • k
  • r0
  • δ0
  • r0
  • a
  • k
  • K

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