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Display information for equation id:math.3067.6 on revision:3067

* Page found: Nakajima-Zwanzig-Gleichung (eq math.3067.6)

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{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}

TeX (checked): 

{\text{d}}_{t}{\mathcal {P}}\chi ={\mathcal {P}}L{\mathcal {P}}\chi +\underbrace {{\mathcal {P}}L{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}Q\chi (t=0)} _{=0}+{\mathcal {P}}L\int \limits _{0}^{t}{dt{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt'}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}\chi (t-{t}')}

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d t ⁢ 𝒫 ⁢ χ = 𝒫 ⁢ L ⁢ 𝒫 ⁢ χ + 𝒫 L e 𝒬 ⁢ L ⁢ t Q χ ( t = 0 ) ⏟ = 0 + 𝒫 ⁢ L ⁢ ∫ 0 t 𝑑 t ⁢ e 𝒬 ⁢ L ⁢ t ′ ⁢ 𝒬 ⁢ L ⁢ 𝒫 ⁢ χ ⁢ ( t - t ′ ) subscript d 𝑡 𝒫 𝜒 𝒫 𝐿 𝒫 𝜒 subscript ⏟ fragments P L superscript 𝑒 𝒬 𝐿 𝑡 Q χ fragments ( t 0 ) absent 0 𝒫 𝐿 superscript subscript 0 𝑡 differential-d 𝑡 superscript 𝑒 𝒬 𝐿 superscript 𝑡 ′ 𝒬 𝐿 𝒫 𝜒 𝑡 superscript 𝑡 ′ {\displaystyle{\displaystyle{\text{d}}_{t}\mathcal{P}\chi=\mathcal{P}L\mathcal% {P}\chi+\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi(t=0)}_{=0}+\mathcal% {P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt^{\prime}}}\mathcal{Q}L\mathcal{P% }\chi(t-{t}^{\prime})}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\text{d}}_{t}\mathcal{P}\chi=\mathcal{P}L\mathcal%&#10;{P}\chi+\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi(t=0)}_{=0}+\mathcal%&#10;{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt^{\prime}}}\mathcal{Q}L\mathcal{P%&#10;}\chi(t-{t}^{\prime})}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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        <mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">𝒫</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.33.1.1a" xref="p1.1.m1.1.33.1.1.cmml">⁢</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">χ</mi>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.33.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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          <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">χ</mi>
        </mrow>
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                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.11.2.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.11.2.4.1.4.cmml">⁢</mo>
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                </mrow>
              </msup>
              <mi id="p1.1.m1.1.11.2.5" xref="p1.1.m1.1.11.2.5.cmml">Q</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.11.2.6" xref="p1.1.m1.1.11.2.6.cmml">χ</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.4" xref="p1.1.m1.1.11.2.4.cmml">
                <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.2.7" xref="p1.1.m1.1.11.2.7.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.11.2.8" xref="p1.1.m1.1.11.2.8.cmml">t</mi>
                <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.11.2.9" xref="p1.1.m1.1.11.2.9.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.11.2.10" xref="p1.1.m1.1.11.2.10.cmml">0</mn>
                <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.2.11" xref="p1.1.m1.1.11.2.11.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">⏟</mo>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
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          </mrow>
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          <mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">𝒫</mi>
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              <munderover id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1.cmml">
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                  <msup id="p1.1.m1.1.22.1.6" xref="p1.1.m1.1.22.1.6.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.22.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.4.1.cmml">′</mo>
                  </msup>
                </mrow>
              </msup>
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                  <msup id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.4.2.1.cmml">
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.2.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.12">superscript</csymbol>
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                    <times id="p1.1.m1.1.11.2.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.4.1.4"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.11.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.4.1.1">𝒬</ci>
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                <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.11.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.5">Q</csymbol>
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                <cerror id="p1.1.m1.1.11.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.4">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.2.4a.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.4">fragments</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.7">(</ci>
                  <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.11.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.8">t</csymbol>
                  <eq id="p1.1.m1.1.11.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.9"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.10">0</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.2.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.11">)</ci>
                </cerror>
              </cerror>
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            <apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1"/>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.12.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3">absent</csymbol>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2">0</cn>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.33.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3">
            <times id="p1.1.m1.1.33.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝒫</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">𝐿</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2">
              <apply id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.1">subscript</csymbol>
                  <int id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">0</cn>
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                <ci id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">𝑡</ci>
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                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">differential-d</csymbol>
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                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.3">
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                  <apply id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.22.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.5"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.1">𝒬</ci>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.22.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.6">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.22.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.6">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.22.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.3">𝑡</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.22.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.4.1">′</ci>
                    </apply>
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                <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝐿</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25">𝒫</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝜒</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.4">
                  <minus id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">𝑡</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.4.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.2.2.4.2.1">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">𝑡</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1">′</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{\text{d}}_{t}\mathcal{P}\chi=\mathcal{P}L\mathcal%
{P}\chi+\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi(t=0)}_{=0}+\mathcal%
{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt^{\prime}}}\mathcal{Q}L\mathcal{P%
}\chi(t-{t}^{\prime})}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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dt𝒫χ=𝒫L𝒫χ+𝒫Le𝒬LtQχ(t=0)⏟=0+𝒫L∫0tdte𝒬Lt′𝒬L𝒫χ(t−t′′)
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext>d</mtext></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>t</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">&#x1D4AB;</mi></mrow></mrow><mi>&#x03C7;</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">&#x1D4AB;</mi></mrow></mrow><mi>L</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">&#x1D4AB;</mi></mrow></mrow><mi>&#x03C7;</mi><mo>+</mo><munder><mrow data-mjx-texclass="OP"><munder><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">&#x1D4AB;</mi></mrow></mrow><mi>L</mi><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">&#x1D4AC;</mi></mrow></mrow><mi>L</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></msup><mi>Q</mi><mi>&#x03C7;</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo>&#x23DF;</mo></munder></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></munder><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">&#x1D4AB;</mi></mrow></mrow><mi>L</mi><munderover><mo form="prefix" texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>t</mi></mrow></munderover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">&#x1D4AC;</mi></mrow></mrow><mi>L</mi><msup><mi>t</mi><mo>&#x2032;</mo></msup></mrow></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">&#x1D4AC;</mi></mrow></mrow><mi>L</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">&#x1D4AB;</mi></mrow></mrow><mi>&#x03C7;</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo>&#x2212;</mo><msup><msup><mi>t</mi><mo>&#x2032;</mo></msup><mo>&#x2032;</mo></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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Identifiers

  • t
  • 𝒫
  • χ
  • 𝒫
  • L
  • 𝒫
  • χ
  • 𝒫
  • L
  • e
  • 𝒬
  • L
  • t
  • Q
  • χ
  • t
  • 𝒫
  • L
  • t
  • t
  • e
  • 𝒬
  • L
  • t′
  • 𝒬
  • L
  • 𝒫
  • χ
  • t
  • t′

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