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\hat{A}\left| n \right\rangle ={{a}_{n}}\left| n \right\rangle \Rightarrow \hat{A}=\sum\limits_{n}{{{a}_{n}}{{{\hat{P}}}_{n}}}

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A ^ ⁢ | n ⟩ = a n ⁢ | n ⟩ ⇒ A ^ = ∑ n a n ⁢ P ^ n ^ 𝐴 ket 𝑛 subscript 𝑎 𝑛 ket 𝑛 ⇒ ^ 𝐴 subscript 𝑛 subscript 𝑎 𝑛 subscript ^ 𝑃 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\hat{A}\left|n\right\rangle={{a}_{n}}\left|n\right% \rangle\Rightarrow\hat{A}=\sum\limits_{n}{{{a}_{n}}{{{\hat{P}}}_{n}}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\hat{A}\left|n\right\rangle={{a}_{n}}\left|n\right%&#10;\rangle\Rightarrow\hat{A}=\sum\limits_{n}{{{a}_{n}}{{{\hat{P}}}_{n}}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo>
        </mover>
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          <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.1.1.cmml">|</mo>
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        </mrow>
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        <msub id="p1.1.m1.1.20.3.2" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.cmml">
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        </mrow>
      </mrow>
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        <mi id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">A</mi>
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          <munder id="p1.1.m1.1.20.4.1a" xref="p1.1.m1.1.20.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">∑</mo>
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          </munder>
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          </msub>
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</math>

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A^|n⟩=an|n⟩⇒A^=∑nanP^n
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>A</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>&#x21D2;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>A</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munder><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>P</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mstyle></mrow></math>

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