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* Page found: Formaler Aufbau der Quantenmechanik (eq math.2710.130)

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\hat{A}=\hat{A}\left( t \right)\Rightarrow {{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( t \right)\,\underbrace{\left| \hat{A}\left( t \right)\, \right|}_{\text{Intrinsisch}}\,\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{{{{\hat{A}}}_{H}}\left( t \right)}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle

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A ^ = A ^ ⁢ ( t ) ⇒ ⟨ A ^ ⟩ t = ⟨ Ψ ⁢ ( t ) ⁢ | A ^ ⁢ ( t ) | ⏟ Intrinsisch ⁢ Ψ ⁢ ( t ) ⟩ = ⟨ Ψ ⁢ ( 0 ) ⁢ | e 𝔦 ⁢ H ^ ⁢ t ⁢ A ^ ⁢ e - 𝔦 ⁢ H ^ ⁢ t | ⏟ A ^ H ⁢ ( t ) ⁢ Ψ ⁢ ( 0 ) ⟩ ^ 𝐴 ^ 𝐴 𝑡 ⇒ subscript delimited-⟨⟩ ^ 𝐴 𝑡 delimited-⟨⟩ Ψ 𝑡 subscript ⏟ ^ 𝐴 𝑡 Intrinsisch Ψ 𝑡 delimited-⟨⟩ Ψ 0 subscript ⏟ superscript 𝑒 𝔦 ^ 𝐻 𝑡 ^ 𝐴 superscript 𝑒 𝔦 ^ 𝐻 𝑡 subscript ^ 𝐴 𝐻 𝑡 Ψ 0 {\displaystyle{\displaystyle\hat{A}=\hat{A}\left(t\right)\Rightarrow{{\left% \langle{\hat{A}}\right\rangle}_{t}}=\left\langle\Psi\left(t\right)\,% \underbrace{\left|\hat{A}\left(t\right)\,\right|}_{\text{Intrinsisch}}\,\Psi% \left(t\right)\right\rangle=\left\langle\Psi\left(0\right)\,\underbrace{\left|% {{e}^{\mathfrak{i}\hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}}\right|}_{{{{% \hat{A}}}_{H}}\left(t\right)}\,\Psi\left(0\right)\right\rangle}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\hat{A}=\hat{A}\left(t\right)\Rightarrow{{\left%&#10;\langle{\hat{A}}\right\rangle}_{t}}=\left\langle\Psi\left(t\right)\,%&#10;\underbrace{\left|\hat{A}\left(t\right)\,\right|}_{\text{Intrinsisch}}\,\Psi%&#10;\left(t\right)\right\rangle=\left\langle\Psi\left(0\right)\,\underbrace{\left|%&#10;{{e}^{\mathfrak{i}\hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}}\right|}_{{{{%&#10;\hat{A}}}_{H}}\left(t\right)}\,\Psi\left(0\right)\right\rangle}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.42" xref="p1.1.m1.1.42.cmml">
      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo>
      </mover>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.42.2" xref="p1.1.m1.1.42.2.cmml">
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">A</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.42.2.1" xref="p1.1.m1.1.42.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.42.2.2" xref="p1.1.m1.1.42.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.42.2.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">t</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.42.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">⇒</mo>
      <msub id="p1.1.m1.1.42.3" xref="p1.1.m1.1.42.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.42.3.2" xref="p1.1.m1.1.42.3.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.42.3.2.1.1.cmml">⟨</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">A</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">^</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.42.3.2.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
        <mi id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">t</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.42.4" xref="p1.1.m1.1.42.4.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.42.4.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.42.4.2" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">Ψ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.42.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.42.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">t</mi>
            <mo rspace="4.2pt" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.42.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.42.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.3.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.42.4.2.3a" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.3.cmml">
              <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.8.cmml">
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.8.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.19.2.9" xref="p1.1.m1.1.19.2.9.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.19.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.2.2.cmml">A</mi>
                      <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.2.1.cmml">^</mo>
                    </mover>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.19.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.9.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.19.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.9.cmml">
                      <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.19.2.3" xref="p1.1.m1.1.19.2.9.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.19.2.4" xref="p1.1.m1.1.19.2.4.cmml">t</mi>
                      <mo movablelimits="false" rspace="4.2pt" id="p1.1.m1.1.19.2.5" xref="p1.1.m1.1.19.2.9.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.19.2.7" xref="p1.1.m1.1.19.2.8.1.cmml">|</mo>
                </mrow>
                <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">⏟</mo>
              </munder>
              <mtext id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1a.cmml">Intrinsisch</mtext>
            </munder>
          </mpadded>
          <mo id="p1.1.m1.1.42.4.2.1b" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">Ψ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.42.4.2.1c" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.42.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">t</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.42.4.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.42.4.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
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        <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.42.5.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.42.5.2" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">Ψ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.42.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.42.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.cmml">(</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">0</mn>
            <mo rspace="4.2pt" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.42.5.2.1a" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.42.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.3.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.42.5.2.3a" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.3.cmml">
              <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.8.cmml">
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.8.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.9" xref="p1.1.m1.1.34.2.9.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.34.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.9.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.1.cmml">𝔦</mi>
                        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.4.cmml">⁢</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2.2.cmml">H</mi>
                          <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2.1.cmml">^</mo>
                        </mover>
                        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.4a" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.4.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.3.cmml">t</mi>
                      </mrow>
                    </msup>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.9.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.34.2.4" xref="p1.1.m1.1.34.2.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.34.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.4.2.cmml">A</mi>
                      <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.34.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.4.1.cmml">^</mo>
                    </mover>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.2.9.1a" xref="p1.1.m1.1.34.2.9.1.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.34.2.9.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.9.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.34.2.5" xref="p1.1.m1.1.34.2.5.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.cmml">
                        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.1.cmml">-</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.5" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.2.cmml">𝔦</mi>
                          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.3.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.3.2.cmml">H</mi>
                            <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.3.1.cmml">^</mo>
                          </mover>
                          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.5.1a" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.4" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.4.cmml">t</mi>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </msup>
                  </mrow>
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.2.7" xref="p1.1.m1.1.34.2.8.1.cmml">|</mo>
                </mrow>
                <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.34.1.cmml">⏟</mo>
              </munder>
              <mrow id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.35.1.7" xref="p1.1.m1.1.35.1.7.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.35.1.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.35.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.35.1.1.2.cmml">A</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.35.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.1.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mi id="p1.1.m1.1.35.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.1.cmml">H</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.35.1.6" xref="p1.1.m1.1.35.1.6.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.8" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.35.1.3" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.35.1.4" xref="p1.1.m1.1.35.1.4.cmml">t</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.35.1.5" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </munder>
          </mpadded>
          <mo id="p1.1.m1.1.42.5.2.1b" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">Ψ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.42.5.2.1c" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.42.5.2.4" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.cmml">
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            <mn id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.39.cmml">0</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.42.5.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.42.5.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
    </mrow>
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              <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">Ψ</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.19.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2.2.2">𝐴</ci>
                      </apply>
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                <ci id="p1.1.m1.1.20.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1">
                  <mtext mathsize="70%" id="p1.1.m1.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1">Intrinsisch</mtext>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.1">𝔦</ci>
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                            <ci id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2.1">^</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.2.2">𝐻</ci>
                          </apply>
                          <ci id="p1.1.m1.1.34.2.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.3">𝑡</ci>
                        </apply>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.34.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2.4.1">^</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.34.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2.4.2">𝐴</ci>
                      </apply>
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                              <ci id="p1.1.m1.1.34.2.6.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2.6.1.3.2">𝐻</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.37">Ψ</ci>
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\langle{\hat{A}}\right\rangle}_{t}}=\left\langle\Psi\left(t\right)\,%
\underbrace{\left|\hat{A}\left(t\right)\,\right|}_{\text{Intrinsisch}}\,\Psi%
\left(t\right)\right\rangle=\left\langle\Psi\left(0\right)\,\underbrace{\left|%
{{e}^{\mathfrak{i}\hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}}\right|}_{{{{%
\hat{A}}}_{H}}\left(t\right)}\,\Psi\left(0\right)\right\rangle}}</annotation>
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